1、课题：2.2.2 对数函数（三）教学目标：知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一教学重点：重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念难点 反函数的概念教学程序与环节设计：创设情境组织探究尝试练习巩固反思作业回馈课外活动由函数的观点分析例题，引出反函数的概念两种函数的内在联系，图象关系简单的反函数问题，单调性问题从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结简单的反函数问题，单调性问题互为反函数的函数图象的关系教学过
2、程与操作设计：环节 呈现教学材料 师生互动设计创设情境材料一：当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 根据些规律，人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系回答下列问题：（1）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P，并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求该生物死亡的年数 t，并用函数的观点来解释 P和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）这两个函数有什么特殊的关系？（4）用映射
3、的观点来解释 P 和 t 之间的对应关系是何种对应关系？（5）由此你能获得怎样的启示？生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：（1）P 和 t 之间的对应关系是一一对应；（2）P 关于 t 是指数函数 ；x)21(5730t 关于 P 是对数函数，它们573021log的底数相同，所描述的都是碳 14 的衰变过程中，碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系；（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系）的不同数学模型材料二：由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数 中的自变
4、量与因变xy2logxy2量对调位置而得出的，在列表画 的图象2log时，也是把指数函数 的对应值表里的 和xy的数值对换，而得到对数函数 的对应y x2l值表，如下：表一 xy2环节 呈现教学材料 师生互动设计 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8141 2 4 8 表二 x2log在同一坐标系中，用描点法画出图象 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8141 2 4 8 生：仿照材料一分析：与xy2的关系log师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念组织探究材料一：反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作
5、为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数材料二：以 与 为例研究互xy2x2log为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？师：说明：（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数” ；（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型师：引导学生探索研究材料二生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳尝试练习求下列函数的反函数：（1） ； （2）xy3xy6log生：独立完成巩固反思从宏观性、关联性角度试着给指数
6、函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结作业反馈1 求下列函数的反函数：1 2 3 4y3 5 7 9环节 呈现教学材料 师生互动设计1 2 3 43 5 7 92 （1）试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b，都有 f (ab) = f ( a ) + f ( b ) ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有 f (a + b) = f ( a )f ( b ) ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？答案：1互换 、 的数y值2略课外活动我们知道，指数函数 ，且0yx与对数函数 ，且 互)1a(loga)1为反函数
7、，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 的图象，你能发xy2xy2log现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？问题 2 取 图象上的几个点，说出它们x关于直线 的对称点的坐标，并判断它们是否y在 的图象上，为什么？2log问题 3 如果 P0（x 0，y 0）在函数 的图xy2象上，那么 P0 关于直线 的对称点在函数结论： 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称xy的图象上吗，为什么？xy2log问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数 xay，且 及其反函数0(a)1，且 也成立吗？为什么？logxya
