1、数 列教学目标1理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4数列的前 n 项的和的公式及其应用5提高观察、抽象的能力教学重点1理解数列概念； 2通项公式的应用教学难点根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律教学方法发现式教学法教学过程设置情境考察下列问题：某剧场有 30 排座位，第一排有 20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2 个座
2、位（如图），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28， 人们在 1740 年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072， 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为 2 个，那么每过 1 分钟，1 个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16， “一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完如果将“一尺之棰”视为份，那么每日剩下的部分依次为1， ， ， ， ， 16某种树木第 1 年长出幼枝，第年幼枝长成粗干，第年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律
3、，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8， 从 1984 年到 2004 年，我国共参加了 6 次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32 问题 1 这些问题有什么共同的特点？把数按照一定的次序排成一列意义建构、数学理论数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number），数列的一般形式可以写成， ， ， ，1a23na简记为 其中 称为数列 的第项（或称为首项） ， 称为第项，na1na2a， 称为第 n 项n思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？数列中数的有序性，如果我们将数列 1，2，4，8，16
4、，中 2，4 位置交换得：1，4，2，8，16，这个数列就是与原数列不同的数列了项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项在数列 中， 称为数列 na1na的第项（或称为首项） ， 称为第项， 称为第 n 项2an数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？学生活动问题 2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 20， 22， 24， 26， 28， 序号 1
5、2 3 4 5这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系，nan218即：只要依次用 1，2，3代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项进一步考察上面这些数列，依次可以写出第 n 项与 n 的关系如下：数列： =1740+(n-1)83(n N*)，na数列： （n1，n N） ，数列： （n1，n N） 2n必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列通项公式：如果数列 的第 项 与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这nan个公式就叫做这个数列的通项公式问题 3 数列的通项公式与函数有何联系？为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念在前面第二章中我们
6、一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:如果 A、B 都是非空数集，那么 A 到 B 的某种对应法则 ，对于集合 A 中的每一个元f素 x，在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从从 A 到 B 的一个函数，记作： ，其中 )(fyx从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集 N+（或它的有限子集 的函数，当自变量从小到大依次n,21取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示数列的通项
7、公式实际上就是数列的解析式下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列数学应用例 1 已知数列 的通项公式，写出这个数列的前 5 项，并作出它的图象：na（1） ； （2） 1nan2)1(解 我们用列表法分别给出这两个数列的前项n 1 2 3 4 5a 6n2)(481321其图象如图所示：特点：它们都是一群弧立的点从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列 1， ， ， ，2341中第 3 项（序号 3）就对应着数 ，第 5 项对应着数 因此，可以认为这个数列是定513151义在集合1 ，2，
8、3，4，5上的函数 f(n)依次得到的函数值，而 f(n) 就是这个函数的解析式为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样） ；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如1，1，1，1，1，1,，它的通项公式可以是 an( 1) n，也可以是 ancosn，还可以是 .,为nan例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2） ， ， ， ；3
9、1242512（3） ， ， ， 1分析 （1）项 1=21-1， 3=22-1， 5=23-1， 7=24-1， 序号 1 2 3 4 ；2na（2）序号：1 2 3 4 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1 ；1)(na )1()1)12()13()12( nan例 3 写出以下各数列的一个通项公式：（1）1， ， ， ， ，；5871924135（2）21，4 ，8 ，16 ，；（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，；帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式解 （1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符
10、号、分子、分母的变化规律符号：1，1，1，1，规律为(1) n；分母：3，5，7，9， 11(第一项应化成 )，规律为32n1；分子：3，8，15，24，35，可看作 221，3 21，4 21，5 21，6 21，规律为（n+1） 21，故 an(1) n )（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分 2，4，8，16，规律为 2n；后一部分1, ， ， ，规律为 ， an2 n 134n1)(n)1(（3）数列可看成 10.1，10.01，10.001，10.0001， nna10说明 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此
11、这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力例 4 已知数列 a12，a n1 2 ，写出它的前 4 项na解： a12，a 22 2，a 32 2 ， a42 6113)(131说明 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由 a1a 21，且 ana n1 a n2 (n3) 就得出有名的斐波拉契2341 3541 （3）序号数列：1，1，2，3，5，8，13，数列的前 n 项和 Sna 1a 2a 3a n，S n与 an之间的关系为：这个关系式今后常常要用),(*1Nan例 5 数列a n的前 n 项和 Sn2n
12、 21，求 a1、a 5 的值解： 根据 可得 ，),(*1n 31S83545S课堂练习 （1）若数列的通项公式是 ann(n1) ，则 an1 a n为（ ） C2n 2n1 2n2 2n3（2）数列a n为 1，0，1，0，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（ ） C sin 2 )(3)4(cos1n（3） 已知数列 ， ， ， ， ，则 5 是它的第 项21579（4） 写出下列数列的一个通项公式： 1，3，5，7，9，； ，；267,10, ，； ,168,4,2 189,45,232n3； (1) n ； 2n( )n； (1) n)21（5）已知a n满足 a13，a n1 2a n1，写出它的前 6 项，并推测它的通项公式 3，7，15，31，63，127；推测 an2 n1 1课堂小结这李课我们学习了数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式课后作业 书 P32 习题 2.1 1，2，3，5
