1、基础巩固强化一、选择题1把 10 个苹果分成三堆，要求每堆至少有 1 个，至多 5 个，则不同的分法共有( )A4 种 B5 种 C 6 种 D7 种答案 A解析 分类考虑，若最少一堆是 1 个，那由至多 5 个知另两堆分别为 4 个、5 个，只有一种分法；若最少一堆是 2 个，则由3544 知有 2 种分法；若最少一堆是 3 个，则另两堆为 3 个、4 个，故共有分法 1214 种2四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是( )A4 B24 C 43 D3 4答案 C解析 依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4444 3.故选 C.3已知函数 yax 2 bxc，其中 a、b
2、、c0,1,2,3,4，则不同的二次函数的个数共有( )A125 个 B15 个 C 100 个 D10 个答案 C解析 由题意可得 a0，可分以下几类，第一类：b0，c0，此时 a 有 4 种选择，c 也有 4 种选择，共有 4416 个不同的函数；第二类：c 0，b0，此时 a 有 4 种选择，b 也有 4 种选择，共有 4416 个不同的函数；第三类：b0，c0，此时 a，b，c 都各有 4 种选择，共有44464 个不同的函数；第四类：b0，c0，此时 a 有 4 种选择，共有 4 个不同的函数由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N 1616 644100(个)故选 C.4将
3、5 名世博会志愿者全部分配给 4 个不同的地方服务，不同的分配方案有( )A8 B15 C 512 D1024答案 D解析 由分步计数原理得 444441024，故选 D.5如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有 6 个焊接点 A、 B、C 、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A6 种 B36 种 C 63 种 D64 种答案 C解析 每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，共有 26163 种故选 C.6从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
4、A3 B4 C 6 D8答案 D解析 当公比为 2 时，等比数列可为 1、2、4,2、4、8.当公比为 3 时，等比数列可为 1、3、9.当公比为 时，等比数列可为 4、6、9.32同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1 和 9、6、4 也是等比数列，共8 个二、填空题7从 1,2,3,4,7,9 六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为_答案 17解析 (1)当取 1 时， 1 只能为真数，此时对数的值为 0.(2)不取 1 时，分两步：取底数，5 种；取真数，4 种其中 log23log 49，log 32log 94，log24log 39，log 42lo
5、g 93.N 154417.8设椭圆 1 的焦点在 y 轴上，m1,2,3,4,5，x2m y2nn1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆个数为_答案 20解析 曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，nm .当 m1 时，n 有6 种取法，当 m2 时，n 有 5 种取法当 m5 时 n 有 2 种取法，这样的椭圆共有 6543220 个9有 10 本不同的数学书，9 本不同的语文书，8 本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法_种答案 242解析 取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有 10990(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有 9872(种) 不同
6、取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有 10880(种) 不同取法综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有907280242(种)不同取法三、解答题10有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？(2)有 4 名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？解析 (1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个甲有 6 种不同的获奖情况(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有 4 种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有
7、44464( 种).能力拓展提升一、选择题11(2012 广东理，7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是( )A. B. 49 13C. D.29 19答案 D解析 本题考查计数原理与古典概型，两数之和为奇数，则两数一奇一偶，若个位数为奇数，则共有 4520 个数，若个位数为偶数，共有 5525 个数，其中个位为 0 的数共有 5 个，P .520 25 1912某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为( )A16 B18 C 24 D32答案 C解析 若将 7 个车位从左向
8、右按 17 进行编号，则该 3 辆车有 4 种不同的停放方法：(1)停放在 13 号车位；(2)停放在 57 号车位；(3) 停放在 1、2、7 号车位；(4) 停放在 1、6、7 号车位每一种停放方法均有 6 种，故共有 24 种不同的停放方法13(2011 新课标全国文，6) 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B. 13 12C. D.23 34答案 A解析 甲、乙参加兴趣小组的方法数都是 3 种，只有当甲、乙都确定参加哪个兴趣小组时，这件工作才算完成，共有339 种，甲、乙参加同一个
9、兴趣小组的方法数为 3，所求概率P .39 1314若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为 4，另外两边长分别为 b、c，且满足 b4c ，则这样的三角形有 ( )A10 个 B14 个 C 15 个 D21 个答案 A解析 当 b1 时，c 4；当 b2 时，c4,5；当 b3 时，c4,5,6；当 b4 时， c4,5,6,7.故共有 10 个这样的三角形选 A.点评 注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边二、填空题15连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，向量 a( m，n) 和向量 b(1 ，1) 的夹角为 ，则 为锐角的概率是_答案 512解析 cos ，ab|a|b
10、| m n2 m2 n2 (0 ， )，2Error!mn，则 m2 时，n1；m3 时，n1,2；m4 时，n1,2,3；m5 时，n1,2,3,4；m6 时，n1,2,3,4,5.则这样的向量 a 共有 1234515(个) ，而第一次投掷骰子得到的点数 m 有 6 种情形，同样 n 也有 6 种情形，不同的向量 a(m，n)，共有 6636 个，因此所求概率P .1536 512三、解答题16现有高三四个班的学生共 34 人，其中一、二、三、四班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不
11、同的选法？(3)推选二人作发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解析 (1)分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1 人，有 10种选法，所以，共有不同的选法 N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N 789105040(种)(3)分六类：每类又分两步，从一、二班的学生中各选 1 人，有78 种不同的选法；从一、三班的学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法；从一、
12、四班的学生中各选 1 人，有 710 种不同的选法；从二、三班的学生中各选 1 人，有 89 种不同的选法；从二、四班的学生中各选 1 人，有 810 种不同的选法：从三、四班的学生中各选 1 人，有 910 种不同的选法；所以共有不同的选法N 78 79710898109 10431(种)17用 1、2、3、4 四个数字排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列a n(1)写出这个数列的前 11 项；(2)这个数列共有多少项？(3)若 an341 ，求 n.解析 (1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用 1、
13、2、3、4 排成的三位数，每个位上都有 4 种排法，则共有 44464 项(3)比 an341 小的数有两类：1 2 3 1 3 2 3 3 .共有 24413444 项n44145.1(2012锦州检测 )元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有( )A6 种 B9 种 C 11 种 D23 种答案 B解析 解法 1：设四人 A，B ，C ，D 写的贺卡分别是a，b，c，d ，当 A 拿贺卡 b，则 B 可拿 a，c ，d 中的任何一张，即B 拿 a，C 拿 d，D 拿 c 或 B 拿 c，D 拿 a，C 拿 d 或 B
14、拿 d，C 拿a，D 拿 c，所以 A 拿 b 时有三种不同的分配方式同理，A 拿 c，d时也各有三种不同的分配方式由分类加法计数原理，四张贺卡共有 3339(种) 分配方式解法 2：让四人 A，B，C，D 依次拿一张别人送出的贺卡，如果 A 先拿，有 3 种，此时被 A 拿走的那张贺卡的人也有 3 种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有 1 种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有 33119(种) 2从集合1,2,3,4,5,6中任取两个元素作为双曲线 1 中x2a2 y2b2的几何量 a、b 的值，则“双曲线渐近线的斜率 k 满足|k|1”的概率为_答案 12解析 所有可能取法有 6530 种，由|k| 1 知 ba，满ba足此条件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2) ，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)， (5,1)，(6,5)，(6,4) ，(6,3) ，(6,2)，(6,1)共 15 种，所求概率 P .1530 12
