1、1.5.3 定积分的概念一：教学目标 知识与技能目标 通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 ， 了 解 定 积 分 的 背 景 ；能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ， 理 解 定 积 分 的 概 念 ；情感态度与价值观二：教学重难点 重点 定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义难点 定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义三：教学目标：1创设情景复习： 1 回忆前面曲边图形
2、面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割 以直代曲 求和 取极限（逼近 2对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点2新课讲授1定积分的概念 一般地，设函数 在区间 上连续，用分点()fx,ab0121iinax 将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 （ ） ，在每个小区,bnxan间 上取一点 ，作和式：1,iix1,2i 11()()ni ii ibSff如果 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常0nnS数 为函数 在区间 上的定积分。记为： S()fx,ab()baSfxd其中 成为被积函数， 叫做积分变量， 为积分区间， 积分上
3、限， 积分下限。, a说明：（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时）称()bafxdnSSn为 ，而不是 ()bafxdnS（2）用定义求定积分的一般方法是：分割： 等分区间 ；,ab近似代替：取点 ；1iiix求和： ；1()niif取极限： 1()limnbia bafxdf（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；baSfxd21()tSvd变力做功 ()baWFr2定积分的几何意义 如果在区间 上函数连续且恒有 ，那么定,()0fx积分 表示由直线 （ ） ， 和()bafxd,xbay曲线 所围成的曲边梯形的面积。y说明：一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、函数 的
4、图形以及()afdxx()fx直线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积,xb去负号 分析：一般的，设被积函数 ，若 在 上可取负值。()yf()yf,ab考察和式 12i nfxfxx 不妨设 (),0iin于是和式即为121()()i i nfxffff 阴影 的面积阴影 的面积（即 轴上方面积减 轴下方的面积）()badABxx2定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1 abxa性质 2 （其中 k 是不为 0 的常数） （定积分的线性性质）adxfkdf)()(性质 3 （定积分的线性性质）1212()()()bbbaaafxffxd
5、性质 4 ()caacfdfxfc其 中（定积分对积分区间的可加性）性质 5 若 ，则baxf,0)(badxf0)(推论 1： ， ggf)(ba推论 2： babadf)(性质 6 设 为 在 上的最大值、最小值，则mM,x,)()()(fba性质 7（中值定理）若 ，则至少有一 ，使bf,ba,.)()(fdxfba证：由性质 6 知， ，依介值定理，必有 ，Mdxfamb)(1 ba,使 ，即 。)()(1fxfba )(abf说明：推广： 12 12()()()()()b bbbm ma aaaffxdfxfxdfx 推广: 121()kcca cxdf性质解释：PCNMBAa bO
6、yxy=1yxO ba例 1计算定积分 21()xd分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为 。52即： 215()x思考：若改为计算定积分 呢？2(1)xd改变了积分上、下限，被积函数在 上出,现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 性质 1性质 4AMNBAMPCCPNBSSS曲 边 梯 形 曲 边 梯 形 曲 边 梯 形1 2yxo练习计算下列定积分1 50(24)xd解： 952 1x解： 112d例 2计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积.2yx2【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解： ，所以两曲线的交点为201yxx及（0，0） 、 （1，1） ，面积 S= ，所以200dx=20S=(x-)d3210x13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习 计算由曲线 和 所围成的图形的面积.36yx2yx四：课堂小结定 积 分 的 概 念 、 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义五：教学后记（1）定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误2xyABCDO
