1、第7章 关系数据库设计理论,7.1 数据依赖对关系模式的影响 7.2 函数依赖 7.3 范 式 7.4 多值依赖与第4范式（4NF） 7.5 关系模式的规范化 7.6 数据依赖的公理系统,退出,7.1 数据依赖对关系模式的影响,关系数据库规范化理论中的重要概念是数据依赖。 数据依赖是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系。这种约束关系是通过属性值之间的依赖关系来体现的。 数据依赖中最重要的是函数依赖（Functional Dependency，FD）和多值依赖（Multivalued Dependency，MVD）。,属性间的这种依赖关系类似于数学中的函数y = f（x），自变量x确定之后，
2、相应的函数值y也就惟一地确定了。 现在我们建立一个描述学校教务的数据库，该数据库涉及的对象包括学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）、系主任姓名（Mname）、 课程名（Cname）和成绩（Grade）。假设我们用一个单一的关系模式Student来表示，则该关系模式的属性集为： U Sno，Sdept，Mname，Cname，Grade ,现实世界的已知事实（语义）告诉我们： （1）一个系有若干学生，但一个学生只属于一个系。 （2）一个系只有一名主任。 （3）一个学生可以选修多门课程，每门课程有若干学生选修。 （4）每个学生所学的每门课程都有一个成绩。,从上述事实我们可以得到属性集U上的一
3、组函数依赖F（如图7.1所示）： F Sno Sdept， Sdept Mname， (Sno，Cname) Grade 如果只考虑函数依赖这一种数据依赖，我们就得到了一个描述学生的关系模式： Student ,1数据冗余太大 例如，每一个系主任的姓名重复出现。 2更新异常（Update Anomalies） 例如，某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组。 3插入异常（Insertion Anomalies） 如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。,4删除异常（Deletion Anomalies） 如果某个系的学生全部毕业了，我们在删除该
4、系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。 一个关系模式之所以会产生上述问题，是由存在于模式中的某些数据依赖引起的。规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。,7.2 函数依赖,7.2.1 函数依赖 定义7.1 设R（U）是属性集U上的关系模式。X，Y是U的子集。若对于R（U）的任意一个可能的关系实例r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则称X函数确定Y或Y函数依赖于X，记作XY。,对于函数依赖，需要说明以下几点： （1）函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的
5、约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。 （2）函数依赖和别的数据之间的依赖关系一样，是语义范畴的概念。我们只能根据数据的语义来确定函数依赖。例如，“姓名年龄”这个函数依赖只有在没有同名人的条件下成立。 如果有相同名字的人，则“年龄”就不再函数依赖于“姓名”了。,（3）XY，但YX 则称XY是非平凡的函数依赖。 （4）XY，但Y X 则称XY是平凡的函数依赖。对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义。若不特别声明，总是讨论非平凡的函数依赖。 （5）若XY，则X称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素（Determinant）。,（6）若XY，并且YX，则记
6、为XY。 （7）若Y函数不依赖于X，则记为XY。 （8）若XY，并且对于X的任何一个真子集X，都有X Y，则称Y完全函数依赖于X，记作XY，否则称Y部分函数依赖于X，记作X Y。,（9）若XY，YZ，且YX，YX，则称Z传递函数依赖于X。 加上条件Y X，是因为如果Y X，则X Y，实际上是X Z，即是直接函数依赖而不是传递函数依赖。 属性集U上的关系模式R（U）常常表示为R ，F是属性集U上的一组函数依赖。,7.2.2 码 码是关系模式中一个重要概念。下面我们用函数依赖的概念来定义码。 定义7.2 设K为关系模式R 中的属性或属性组合，若KU，则K称为R的一个候选码（Candidate Ke
7、y）。若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个作为主码（Primary key）。主码用下横线（_）显示出来。,包含在任何一个候选码中的属性，叫作主属性（Prime attribute）。不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）。 最简单的情况，单个属性是码。最极端的情况，全部属性是码，称为全码（All-key）。 例如，在关系模式S（Sno，Sdept，Sage）中Sno是码。,关系模式R（P，W，A），属性P表示演奏者，W表示作品，A表示听众。假设一个演奏者可以演奏多个作品，某一作品可被多个演奏者演奏。听众
8、也可以欣赏不同演奏者的不同作品，这个关系模式的码为（P，W，A），即All-key。 定义7.3 关系模式R中属性或属性组X并非R的码，但X是另一个关系模式S的码，则称X是R的外部码（Foreign key）也称外码。,例如，在SC（Sno，Cno，Grade）中，Sno不是码，但Sno是关系模式Student（Sno，Sdept，Sage）的码，则Sno是关系模式SC的外部码。 主码与外部码表示了关系之间的联系。例如，关系模式Student与SC的联系就是通过Sno来体现的。,7.3 范 式,范式是符合某一种级别的关系模式的集合。 满足最低要求的叫第1范式，简称为1NF。在第1范式基础上进一
9、步满足一些要求的为第2范式，简称为2NF。其余以此类推。显然各种范式之间存在以下关系： 4NF BCNF 3NF 2NF lNF，如图7.2所示。 我们通常把某一关系模式R为第n范式简记为RnNF。,7.3.1 第1范式（1NF） 定义7.4 如果一个关系模式R 的所有属性都是不可分的基本数据项，则R1NF。 SLC(Sno，Cno，Sdept，Sloc，Grade) 其中Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。SLC的码为（Sno，Cno）。函数依赖包括：,(Sno，Cno) Grade Sno Sdept (Sno，Cno) Sdept Sno Sloc (Sno，Cno) S
10、loc Sdept Sloc（因为每个系只住一个地方）,f,p,p,SLC关系存在以下问题： （1）插入异常。 （2）删除异常。 （3）数据冗余度大。 （4）修改复杂。,7.3.2 第2范式（2NF） 关系模式SLC出现上述问题的原因是Sdept、 Sloc对码的部分函数依赖。为了消除这些部分函数依赖，我们可以采用投影分解法，把SLC分解为两个关系模式： SC（Sno，Cno，Grade） SL（Sno，Sdept，Sloc） 这两个关系模式的函数依赖如图7.4所示。,定义7.5 若关系模式R1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R 2NF。 杂的问题。 例如2NF关系模式SL(
11、Sno，Sdept，Sloc）中有下列函数依赖： SnoSdept SdeptSloc SnoSloc,（1）插入异常。 （2）删除异常。 （3）数据冗余度大。 （4）修改复杂。,7.3.3 第3范式（3NF） 关系模式SL出现上述问题的原因是Sloc传递函数依赖于Sno。为了消除该传递函数依赖，我们可以采用投影分解法，把SL分解为两个关系模式： SD（Sno，Sdept） SD的码为Sno，DL（Sdept，Sloc） DL的码为Sdept。,定义7.6 如果关系模式R 中不存在候选码X、属性组Y及非主属性Z（Z Y），使得XY（Y X）和YZ成立，则R3NF。 例如，在关系模式STJ（S，
12、T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。假设每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。于是，我们有函数依赖（S，J）T，TJ。同时我们可以发现STJ（S，T，J）中（S，J）、（S，T）都是候选码，因此（S，T）J成立。用图7.5表示如下：,3NF的STJ关系模式也存在以下问题： （1）插入异常。 （2）删除异常。 （3）数据冗余度大。 （4）修改复杂。,7.3.4 BC范式（BCNF） 关系模式STJ出现上述问题的原因在于主属性J依赖于T，即主属性J部分依赖于码（S，T）。解决这一问题仍然可以采用投影分解法，将STJ分解为两个关系模式：ST（
13、S，T）， ST的码为STJ（T，J）， TJ的码为T,定义7.7 设关系模式R1NF，如果对于R的每个函数依赖XY，若YX，则X必含有候选码，那么RBCNF。,BCNF的关系模式具有如下3个性质： （1）所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码。 （2）所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码。 （3）没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。 如果一个关系数据库中的所有关系模式都属于BCNF，那么在函数依赖范畴内，它已实现了模式的彻底分解，达到了最高的规范化程度，消除了插入异常和删除的异常。,7.4 多值依赖与第4范式（4NF）,例1 设学校中某一门课程由多个教员讲授，他们使用相同
14、的一套参考书。我们可以用一个关系模式Teach（C，T，B）来表示。,把这张表变成一张规范化的二维表，如表7.2所示。 （1）数据冗余度大。 （2）增加操作复杂。 （3）删除操作复杂。 （4）修改操作复杂。,7.4.1 多值依赖 定义7.8 设R（U）是一个属性集U上的一个关系模式，X、Y和Z是U的子集，并且ZUXY。多值依赖XY成立，当且仅当 对R的任一关系r，r在（X，Z）上的每个值对应一组Y值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。 多值依赖具有下列性质： （1）多值依赖具有对称性。即若XY，则XZ，其中ZUXY。,（2）函数依赖可以看作是多值依赖的特殊情况。即若XY，则XY。多值依赖与函数
15、依赖相比，具有下面两个基本区别：,（1）多值依赖的有效性与属性集的范围有关。 若XY在U上成立则在W（X Y W U）上一定成立；反之则不然，即XY在W（W U）上成立，在U上并不一定成立。这是因为多值依赖的定义中不仅涉及属性组X和Y，而且涉及U中其余属性Z。 （2）若函数依赖XY在R（U）上成立，则对于任何Y Y均有XY成立。而多值依赖XY若在R（U）上成立，却不能断言对于任何YY有XY成立。,7.4.2 第4范式（4NF）定义7.9 关系模式R lNF，如果对于R的每个非平凡多值依赖XY（YX），X都含有候选码，则称R 4NF。,7.5 关系模式的规范化,规范化的基本思想是逐步消除数据依赖
16、中不合适的部分，使模式中的各关系模式达到某种程度的“分离”，即采用“一事一地”的模式设计原则，让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念就把它“分离”出去。因此所谓规范化实质上是概念的单一化。 关系模式规范化的基本步骤如图7.7所示。,（1）对1NF关系进行投影，消除原关系中非主属性对码的函数依赖，将1NF关系转换为若干个2NF关系。 （2）对2NF关系进行投影，消除原关系中非主属性对码的传递函数依赖，从而产生一组3NF关系。,（3）对3NF关系进行投影，消除原关系中主属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖（也就是说，使决定属性都成为投影的候选码），得到一组BCNF关系
17、。 以上三步也可以合并为一步：对原关系进行投影，消除决定属性不是候选码的任何函数依赖。 （4）对BCNF关系进行投影，消除原关系中非平凡且非函数依赖的多值依赖，从而产生一组4NF关系。,7.6 数据依赖的公理系统,Armstrong公理系统。 定义7.10 对于满足一组函数依赖F的关系模式R ，其任何一个关系r，若函数依赖XY都成立（即r中任意两元组t，s，若tX=sX，则tY=sY），则称F逻辑蕴含X Y。,Armstrong公理系统 设U为属性集总体，F是U上的一组函数依赖，于是有关系模式R 。对R 来说有以下的推理规则： Al. 自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X Y为
18、F所蕴含。 A2. 增广律（Augmentation）：若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ为F所蕴含。 A3. 传递律（Transitivity）：若XY及YZ为F所蕴含，则XZ为F所蕴含。,定理7.l Armstrong推理规则是正确的。 证 （l）设YXU 。 对R 的任一关系r中的任意两个元组t，s： 若tX=sX，由于Y X，有ty=sy， 所以XY成立，自反律得证。,（2）设XY为F所蕴含，且Z U。 设R 的任一关系r中任意的两个元组t，s； 若tXZ=sXZ，则有tX=sX和tZ=sZ； 由XY，于是有tY=sY，所以tYZ=sYZ，所以XZYZ为F所蕴含，增广律得证。,（3
19、）设XY及YZ为F所蕴含。 对R 的任一关系r中的任意两个元组t，s。 若tX=sX，由于XY，有tY=sY； 再由YZ，有tZ=sZ，所以XZ为F所蕴含，传递律得证。 根据A1，A2，A3这3条推理规则可以得到下面3条很有用的推理规则：, 合并规则：由XY，XZ，有XYZ。 伪传递规则：由XY，WYZ，有XWZ。 分解规则：由XY及ZY，有XZ。 根据合并规则和分解规则，很容易得到这样一个重要事实： 引理7.l XA1 A2Ak成立的充分必要条件是XAi成立（i=l，2，k）。,定义7.l1 在关系模式R中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作F的闭包，记为F+。 人们把自反律、传递律和增广律称
20、为Armstrong公理系统。Armstrong公理系统是有效的、完备的。Armstrong公理的有效性指的是：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中；完备性指的是F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来。,要证明完备性，首先要解决如何判定一个函数依赖是否属于由F根据Armstrong公理推导出来的函数依赖的集合。当然，如果能求出这个集合，问题就解决了。但不幸的是，这 是一个NP完全问题。比如从F=XA1，XAn 出发，至少可以推导出2n个不同的函数依赖为此引入了下面的概念：,定义7.12 设F为属性集U上的一组函数依赖，X U
21、，XF+= A|XA能由F根据Armstrong公理导出，XF+ 称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。 由引理7.1容易得出： 引理7.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y U，XY能由F根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+。 于是，判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，就转换为求出XF+，判定Y是否为XF+的子集的问题。这个问题由算法7.l解决了。,算法7.l 求属性集X（X U）关于U上的函数依赖集F的闭包XF+。输入：X，F输出：XF+,步骤： （1）令X（0）=X，i=0 （2）求B，这里B = A |（V）（W）（VWFVX（i）AW）；
22、（3）X（i+1）=BX（i） （4）判断X（i+1）=x（i）吗? （5）若相等或X（i）=U 则X（i）就是XF+，算法终止。 （6）若否，则i=i+l，返回第（2）步。,例1 已知关系模式R， 其中U=A，B，C，D，E；F=ABC，BD，CE，ECB，ACB。 求（AB）F+ 。 解 由算法7.1，设X（0）=AB； 计算X（1）；逐一扫描F集合中各个函数依赖，找左部为A，B或AB的函数依赖，得到两个：ABC，BD，于是X（1）=ABCD=ABCD。,因为X（0）X（1），所以再找出左部为ABCD子集的那些函数依赖，又得到CE，ACB，于是X（2）=X（1）BE=ABCDE。 因为X（
23、2）已等于全部属性集合，所以（AB）F+ =ABCDE。 对于算法7.l，令ai=|X（i）|，ai 形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U|X| 次循环就会终止。,定理7.2 Armstrong公理系统是有效的、完备的。 Armstrong公理系统的有效性可由定理7.l得到证明。完备性的证明从略，有兴趣的读者请参考7。 Armstrong公理的完备性及有效性说明了“导出”与“蕴含”是两个完全等价的概念。于是F+ 也可以说成是由F出发借助Armstrong公理导出的函数依赖的集合。 从蕴含（或导出）的概念出发，又引出了两个函数依赖集等价和最小依赖集的
24、概念。,定义7.13 如果G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。 引理7.3 F+ = G+ 的充分必要条件是F G+，和G F+ 。 证 必要性显然，只证充分性。 （1）若FG+，则XF+ XG+ 。 （2）任取XYF+ 则有 Y XF+ 。 所以XY （G+）+= G+。即F+ G+。,（3）同理可证G+ F+，所以F+ = G+。而要判定F G+，只须逐一对F中的函数依赖XY，考察 Y 是否属于就行了。因此引理7.3给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法。,定义7.14 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集
25、或最小覆盖。 （1）F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。 （2）F中不存在这样的函数依赖XA，使得F与FXA等价。 （3）F中不存在这样的函数依赖XA，X有真子集Z使得FXAZA与F等价。,例2 考察关系模式S，其中：U=Sno，Sdept，MName，Cname，Grade，F=SnoSdept，SdeptMName，（Sno，Cname）Grade 设F=SnoSdept，SnoMName，SdeptMName，（Sno，Cname）Grade，（Sno，Sdept）Sdept 根据定义7.14可以验证F是最小覆盖，而F不是。因为FSnoMName与F等价，F（Sno，Sdept）Sde
26、pt与F等价。,定理7.3 每一个函数依赖集F均等价于一个极小函数依赖集Fm。此Fm称为F的最小依赖集。 证 这是一个构造性的证明，分3步对F进行“极小化处理”，找出F的一个最小依赖集来。 （1）逐一检查F中各函数依赖FDi：XY，若Y=A1A2 Ak，k2，则用XAj |j=1，2，k来取代XY。,（2）逐一检查F中各函数依赖FDi：XA，令G=FXA，若AXG+，则从F中去掉此函数依赖（因为F与G等价的充要条件是AXG+）。 （3）逐一取出F中各函数依赖FDi：XA，设X=B1B2Bm，逐一考查Bi（i=l，2，m），若A （XBi）F+，则以XBi 取代X（因为F与FXAZA等价的充要条
27、件是AZF+ 其中Z=XBi）。,最后剩下的F就一定是极小依赖集，并且与原来的F等价。因为对F的每一次“改造”都保证了改造前后的两个函数依赖集等价。这些证明很显然，请读者自行补上。 应当指出，F的最小依赖集Fm不一定是惟一的，它与对各函数依赖FDi 及XA中X各属性的处置顺序有关。,例3 F = AB，BA，BC，AC，CA Fm1= AB，BC，CA Fm2= AB，BA，AC，CA 这里给出了F的两个最小依赖集Fm1，Fm2 。 若改造后的F与原来的F相同，说明F本身就是一个最小依赖集，因此定理7.3的证明给出的极小化过程也可以看成是检验F是否为极小依赖集的一个算法。,两个关系模式R1 ，R2，如果F与G等价，那么R1的关系一定是R2的关系。反过来，R2的关系也一定是R1的关系。所以在R中用与F等价的依赖集G来取代F是允许的。,
