1、1.3.1 函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习引入1增函数、减函数的定义一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I：如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数2函数的单调
2、性如果函数 yf(x ) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 yf (x) 的单调区间在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的例 1 讨论函数 yx 24x 3 的单调性解：取 x1x 2，x 1、x 2R， 取值f(x1)f (x2)(x 124x 1+3)(x 224x 2+3) 作差(x 1 x2)(x1x 24) 变形当 x1x 22 时，x 1x 240，f(x 1)f(x 2)， 定号yf(x)在(, 2) 单调递减 判断当 2x 1x 2 时， x1x 240，f(x 1)f(x 2)，yf(x)在(2
3、, )单调递增综上所述 yf (x)在(, 2)单调递减，yf (x)在(2, )单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性？ xy22-24O 0 0f(x) 正负切 线斜 率 增 函 数减 函 数y f(x)(2, )( ,)一般地，设函数 yf( x)在某个区间内可导，如果 f(x)0，则 f(x)为增函数； 如果 f(x)0，则 f(x)为减函数例 2教材 P24 面的例 1。例 3确定函数 f(x)x 22x 4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解： f(x)2x2 令 2x20，解得 x1因此，当 x(1, +)时，f(x)是增函数令 2x20，解得 x1 因此，当 x(
4、 , 1)时，f(x )是减函数例 4确定函数 f(x)2x 36x 27 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：f(x )6x 2 12x令 6x212x0，解得 x0 或 x2因此，当 x( , 0)时，函数 f(x)是增函数，当 x(2, )时， f(x)也是增函数令 6x212x0，解得 0x 2因此，当 x(0, 2)时，f(x )是减函数利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数 f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式 f (x)0，得函数的单调递增区间；解不等式 f (x)0，得函数的单调递减区间练习 1：教材 P24 面的例 2利用导数的符号来判
5、断函数单调性:设函数 yf( x)在某个区间内可导(1)如果 f (x)0 ，则 f(x)为严格增函数； (2)如果 f (x)0 ，则 f(x)为严格减函数思考：（1）若 f (x)0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件？若 f (x)0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件例如 f(x)x 3，当 x=0，f (x)=0， x0 时，f (x)0，函数 f(x)x 3 在(,)上是增函数（2）若 f (x) 0 在某个区间内恒成立，f (x)是什么函数 ？12233Oxy6422Oy x若某个区间内恒有 f (x)0，则 f (x)为常数函数练习 2. 教科书 P.26 练习(1)（三）课堂小结1判断函数的单调性的方法； 2导数与单调性的关系； 3证明单调性的方法.（四）作业
