1、第二章 推理与证明21 合情推理与演绎推理211 合情推理典型例题例 1 观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中,第 100项是( )（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为1,2,3,4, n 由 2)1(100 n *N 得,n=14,所以应选（C）例 2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补例 3、观察以下各等式： 202003sincos6i
2、n3cos645520200si1cs4i1cs，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。解析 猜想： 22003ino(3)incos()4。 证明 002001262sin(2)sin3sinco(3)sic 06o21sin(3)002sin(3)si112 00iin(3)424练习一、选择题1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,中 x,y,z的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.2、在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC的两
3、边 AB， AC互相垂直，则 AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥 ABCD的三个侧面 ABC、 ACD、 ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B) CACBSS2222(C) BAABCSS(D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD23、已知 2()(1),1fxfx *xN（ ） ，猜想 (fx） 的表达式为 ( )A. 4x B. 2f C. 1()f D. 21fx二、填空题4、依次有下列等式： 222 57643,1，按此规律下去，第 8个等式为 。5、在等差数列 na中，若 0
4、1，则有等式 naa21),9(1921 N成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 nb中，若 9b，则有等式 成立.三、解答题6在 DEF中有余弦定理： DFEEFDcos22 . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱 ABC- 1CBA的 3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.7、已知数列 3021,a ，其中 1021,a 是首项为 1，公差为 1的等差数列；010,a是公差为 d的等差数列； 302, 是公差为 2d的等差数列（ 0d）.（1）若 42，求 ；（2）试写出 30a关于 d的关系式，并求 30a的取值范围；（3）续写已知数列，使得 431
5、0,a 是公差为 3d的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例） ，并进行研究，你能得到什么样的结论？参 考 答 案21 合情推理与演绎推理211 合情推理一、选择题（1） （A） 观察各项我们可以发现：x 为前一项的 3倍即 143，y 为前一项减 1，z 为前一项的 3倍，故应选 42，41，123，选（A） 。（2）分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体 多边形； 面 边体 积 面 积 ； 二面角 平面角面 积 线段长； 由此，可类比猜测本题的答案： 2ABCS2D2ABS2CD，故选（C） 。
6、（3）由归纳猜想可得选（B） 。二、填空题（4）由归纳猜想可得 8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22= 215（5）猜测本题的答案为： ).,17(*17221 Nnbbnn 事实上，对等差数列 na，如果 0k，则 nkkaa220ka. 所以有： n21 11(nnn122） （ *,Nk）.从而对等比数列 b，如果 k，则有等式：),(121bbnk成立三、解答题6分析 根据类比猜想得出 cos21111122 BCABBCACA SSS.其中 为侧面为 1B与 所成的二面角的平面角.证明： 作斜三棱柱 1的直截面 DEF，则 DFE为面
7、1A与面1BC所成角，在 DEF中有余弦定理： cos22，同乘以 21A，得 cos2111212 AEFDAEFDE即 cos1111122 BCBBCACA SSS7解：（1） 3,40.02 da（2） )(2230 dda43130，当 ),0(),(d时， 307.5,a.（3）所给数列可推广为无穷数列 n，其中 1021,a 是首项为 1，公差为 1的等差数列，当 1n时，数列 )(1010,naa 是公差为 nd的等差数列. 12 分研究的问题可以是：试写出 )(关于 d的关系式，并求 )1(0na的取值范围.研究的结论可以是：由 323041da，依次类推可得 .1),(0,1)(10 ndnn当 d时， )1(0na的取值范围为 ,(等.
