1、课题：因式分解-提公因式法和公式法教学内容：一、因式分解的概念（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法例 1、下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x 2-x x(x-1) ( ) 是(2)a(a-b)a 2-ab ( ) 不是(3)(a+3)(a-3)a 2-9 ( ) 不是(4)a 2-2a+1a(a-2)+1 ( ) 不是(5)x 2+2x+ (x+ )2 ( ) 不是14(6) xy-1=xy(1- )( )
2、不是xy【巩固练习】1在下列等式中，属于因式分解的是（ C ）Aa(x y)b(mn) axbmay bnB 2ab 1= 12a2b2)(aC4 9 (2a3b)(2a 3b)2D 7x8=x(x 7)82x二、提取公因式法1. 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数。2. 步骤：（1）观察（2）确定公因式（3）将公因式提到括号外（4）将多项式写成因式乘积的形式4.提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式让学
3、生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：(1)公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。(2)公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式例 1、指出下列各多项式中各项的公因式： (1)ax+ay+a (a)(2)3mx-6mx 2 (3mx)(3)4a 2+10ah (2a)(4)x 2y+xy2 (xy)(5)12xyz-9x 2y2 (3xy)例 2、将下列各式分解因式(1)5a(m-n)-10b(m-n) (2) 4m(a-b)-5(b-a)(3) 3m(x-y) 2-9m 2 (y-x) 2 (4)3a(a+b) 2 -2a2 (a+b)(5) (x+y) 2
4、(x-y)+(x+y)(x-y) 2 (6) 5(x-2) (y-2) -3(2-x) 2 (2-y)3nn解：（1）原式=5(m-n)(a-2b)（2）原式=(a-b)(4m+5)（3）原式=3m(x-y) 2 (1-3m)（4）原式=a(a+b)(a+3b)（5）原式=2x(x+y)(x-y) 来源:学优高考网 gkstk（6）原式=(x-2) 2 (y-2) 5x-10-3(y-2) nn例 3、已知 x +x +x +x+1=0，求 x +x +x +x +x 的值431098976解： 原式= =0962()例 4、判断：43 -3 能否被 321 整除2017解：原式= 321=1
5、073 所以能够被整除7320(4)【巩固练习】1多项式 m(n2) (2n)分解因式等于（ C ）2mA(n2)(m ) B(n2)(m )2m2mCm(n2)(m 1) D m(n2)(m1)2 下列各式的因式分解结果中，正确的是（ C ）A b7abbb( 7a)2a2aB3 y3xy+6y=3y(x2)(x1)2xC8xyz 2xyz(4 3xy)z26D2 4ab6ac2a(a2b3c)a3、分解因式：（1） (pq)pq； （2）3a（mn） 2+6b（nm） 2 2m解：(pq)(m1)(m1) 解： 3（m-n） 2（a+2b） ；（3）mx（a b）nx（ba） 解：x（a-
6、b ） （m+n） ；三、公式法1. 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法2. 因式分解的平方差公式a2-b2(a+b)(a-b)也就是说，如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积。3 .因式分解的完全平方公式a +2ab+b =(a+b)22a -2ab+b = (a- b) 2也就是说，如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方。例 1、利用平方差公式因式分解（1）x 2-16 （x+4 ）(x-4)（2
7、）9m 2-4n 2 (32)()mn总结：观察题目，能直接运用平方差公式分解因式练习：（1）4x 2=( )2 25m2=( )2 36a4=( )2 0.49b2=( )2 81n6=( )2 64x2y2=( )2100p4q2=( )2（2）下列多项式可不可以用平方差公式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，说明为什么？x2+y2 -x2+y2 x2+y2 -x2-y2 a4-b2总结：能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：例 2、将下列各式分解因式（1）x y -25（2） a b - a b42184（3）-m +46（4）3(x -27) - x232（5） (x-y）
8、 -7(x-y)173（6）9(a+2b) - 4(a-b)22解：(1)原式=(xy+ )(xy- )51(2)原式= a b (4 a - b )= a b (2a+b)(2a-b)1822182(3)原式= -m =( +m )( -m )=( +m )( +m)( -m)6422421(4)原式=3x -81- x = x -81=( x+9)( x-9)23293(5)原式= （x-y）(x-y) -49= (x-y)(x-y+7)(x-y-7)17217(6)原式=3(a+2b)+2(a-b) 3(a+2b)-2(a-b)=(5a+4b)(a+8b)总结：（1）符合平方差公式标准形
9、式，直接运用平方差公式分解因式（2）若不符合标准形式，应通过变形和化简，再使用平方差公式分解因式（3）使用平方差公式分解因式后，需将所得的因式进行化简，如能继续分解，要分解到不能分解为止例 3 、用简便方法计算（1）999 2-10012（2）(100.5) 2- (99.5)2解：(1)原式=（999+1001 ） （999-1001 ）=2000（-2）= - 40004.原式= （100.5+99.5） （100.5-99.5）=2002=400例 4、证明：两个连续偶数的平方差能够被 4 整除证明：设两个连续偶数为 2n-2、2n(n 为整数)，那么(2n) - (2n-2) =(4n
10、-2)2=4(2n-1)22因为 n 是整数，所以 2n-1 也是整数，所以 4(2n-1)是 4 的整数倍，两个连续偶数的平方差能够被 4 整除。例 5、 下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9； 是(2)x2+xy+y2； 不是(3)25x410x 2+1； 是(4)16a2+1. 不是(5) 4x -4x-1 不是总结：（1）多项式由三部分组成（2）其中的两部分是两个式子（或数）的平方，且同号（3）第三部分是两个式子（或数）的乘积的 2 倍，符号可正可负。练习：（1）填空，使左边的三项式成为完全平方式(1)x2 -（ ）+ = （ ） ；1362(2) x2+xy+（
11、）= （ ） ；9(3)（ ）+12x+1= （ ） ；2(4)25a2-30ab+（ ）=（ ） .解：（1）x 2 -（ ）+ = （x- ）13x612（2） x2+xy+（ ）=（ + ）9624y3xy（3） （36x ）+12x+1=（6x+1） 2（4）25a 2-30ab+（9 ）=（5a-3b） .2b例 6、 将下列各式分解因式（1）9a +12a+42（2）4x -20xy+25y 2（3） - +295ab14（4）- x +22y（5） ab（6） 2318解：(1)原式= (2)原式= 25xy(3)原式= 31ab(4)原式=2xy(5)原式= 2ab(6)原式=
12、 3总结：（1）符合完全平方公式标准形式，直接运用完全平方公式分解因式（2）若不符合标准形式，应通过变形和化简，再使用完全平方公式分解因式例 7、 将下列各式分解因式（1） 2816xyxy（2） 4（3） 69a（4） 21025mn（5） xyx（6） 2 2269abab解：（1）原式= 4xy（2）原式= 222x（3）原式= 693aa（4）原式= 25mn（5）原式= 或xy25x（6）原式= 2234ababa总结：（1）完全平方公式中的 a 和 b，也可以是多项式（2）不符合完全平方公式标准形式的多项式，需进行化简和变形，如去括号， 41x等2xyx（3）要分解到不能再分解为止
13、【巩固练习】1. 选择（1）下列分解因式中，不正确的是（ B ） A B 22693xx2224193xyxyC D 16 1abab（2）若 是一个完全平方式，那么 m 的值是（ C ） 249xmA 12 B 18 C 12 D18（3）无论 、y 为任何实数，多项式 的值一定是（A ） 248xyA 正数 B 负数 C 零 D 不确定（4） 是多项式（ C ）分解因式的结果 2nmxyA B 2 2nmxyC D 2n22. 将下列各式分解因式(1)-9 x2 + y2 (3)yx(2)(a+b) 2-100 （a+b+10）(a+b-10)(3)20a x -45ax y2 35()(
14、23)aay(4)4(a+2b) 2-36(a-b) 2 4b(5)a -4a a (a+2)(a-2)1n1n(6)(x-y+z) 2-(2x-3y+4z) 2 (35)(23)xyzxz3. 计算（1）(2 +4 +6 +98 +100 ) (1 +3 +5 +97 +99 )222222（2）886.6 -113.4（3）1.2514 -1258.622解：(1)原式=(2 -1 )+(4 -3 )+(6 -5 )+(98 -97 )+(100 -99 )来源:学优高考网222=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+ +(98+97)(98-97)+(100+
15、99)(100-99)来源:gkstk.Com=1+2+3+4+5+6+ +97+98+99+100=(1+100)50=5050(2)原式=(886.6+113.4)( 886.6-113.4)=1000773.2=773200来源:gkstk.Com(3)原式=1.25(14 -8.6 100)2=1.25(14 -86 )=1.25(14+86)(14-86)=1.25100(-72)=1258（-9）=-90004 证明：(n+9) - (n-7) 一定能被 32 整除2证明：原式=（n+9+n-7 ）(n+9-n+7)=(2n+2) 16来源:gkstk.Com=32(n+1)所以一
16、定能被 32 整除【自我测试】 1下列各式的变形是因式分解的是（ C ）A （x+3） （x 3）=x 29 B4m 3+16m22m=2m （2m 28m） Cx 22xy+y 2=（xy） 2 Dx 24+3x=（x+2） （x2）+3x2下列各式变形正确的是（ D ）A3a 2b5ab 2+ab=ab（3a 5b） Ba 3b2+a2b=ab（a 2b+a）Cx 20.81=（x 2+0.9） （x+0.3） （x0.3） Dx 2+2x1=（x1） 23下列各组中有因式（x2）的一组是（ A ）A3x6 与 x22x Bx 23x 与 4x8C （x+2 ） 2 与（x2） 2 Dx4
17、 与 6x124多项式 15a3b25a 2b+20a2b3 各项的公因式是（ D ）A5ab B5a 2b C5a 2b2 D5a 3b35把多项式 x2（a1）+x（1a）分解因式正确的是（ B ）A （a1） （x 2+x） B （a 1） （x 2x）Cx（x+1） （a 1） Dx（a 1） （x1）6.下列各式是完全平方式的是（B ） 。（A）x 2+2xy+4y2 （B）25a 2+10ab+b2（C ）p 2+pq+q2（D）m 22mn+ n247. (x+y)2+6(x+y)+9 的分解结果为( B )（A） (x+y3) 2 （B） (x+y+3) 2 （C ） (xy+
18、3) 2 （D） (xy3) 28. 1+0.09x 2 分解因式的结果是（ B ） 。（A） （1+0.3x ） 2 （B ）(0.3x+1)(0.3x1) (C)不能进行 （D ）(0.09x+1)(0.09x1).9. 49a2112ab 2+64b4 因式分解为（ C ）（A）(7a 8b) 2 （B）(7a8b 2)(7a+8b2) （C）(7a 8b 2) 2 （D ）(7a+8b 2)210. 8m 3+12m2+4m= -4 （2m 23m 1） 118a 2n4a n=4an (2a-1) 1212x（xy） 28（xy） 3=4（xy） 2 ( x+2y) 13因式分解：（
19、1）2x 22x+ （2） x2+ xy y2 14139解： 2； 解： )(x )(（3）4a 2（ab ）+（b a ） （4） （ab） 22a+2b解：（a-b） （2a+1） （2a-1 ） 解： （a-b） （a-b-2）（5） （x 2+1） 24x 2解：（x+1） 2（x-1） 214、试证明：5 18+519+520 能被 31 整除证明：5 18+519+520=518 （1+5+5 2）=5 18 31 ，既得证。15、已知 n 是整数，证明（2n+1） 21 能被 8 整除证明：（2n+1） 21=2n（2n+2 ）=4n（n+1） n（n+1）是连续两个自然数的积，肯定能被 2 整除，得证
