1、导数在研究函数中的应用应用一 研究函数的单调性1判断函数的单调性对于函数 ()yfx，如果在某区间上 ()0fx，那么 ()fx为该区间上的增函数；如果在某区间上 0，那么 ()f为该区间上的减函数注意事项：若函数 fx在某区间上的个别点处有 ()fx，在其余点处恒有()fx（或 ()f） ，即函数 ()fx在该区间上虽然有 0 （或 ()0fx ） ，但函数 在这个区间上仍是严格增函数（或严格减函数） 例如函数 3的导数2()3fx在 0处有 ()0fx，当 时， ()fx，而函数 ()fx显然在区间（，）上是严格增函数，但 ()f因此，在区间内 ()0f是 ()f在此区间上为严格增函数的充
2、分不必要条件2确定函数单调区间的一般步骤（1）确定函数 ()yfx的定义域；（2）求导函数 ；（3）在定义域范围内解不等式 ()0fx，求得的相应区间是函数 ()fx的单调增区间；解不等式 ()0fx，求得的相应区间是函数 f的单调减区间注意事项：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间当增（减）区间由若干个不连续区间组成时，应分别作答，不能用“ ”连接应用二 求函数的极值1对极值概念的理解（1）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质它只与某点附近的函数值有关，是仅对某一点的
3、左、右两侧邻域而言的（2）若函数 ()fx在 )ab， 内有极值，那么 ()fx在 )ab， 内不是单调函数（3）函数 在 ， 上有极值，它的极值点的分布是有规律的，即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点；同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地说，当函数 ()fx在 )ab， 上连续变化且有有限个极值点时，函数 ()fx在 )ab， 内的极大值点、极小值点是交替出现的2求函数 ()fx的极值的步骤（1）求函数 的定义域；（2）求函数 ()fx的导数 ()fx，令 ()0f，求方程 ()0fx的所有实数根；（3）考察 在各实数根左、右的值的符号：如果在 x0 两侧 ()fx符号相同，则
4、 0x不是 ()f的极值点；如果在 0x附近的左侧()0fx，右侧 0，则 ()f是极大值；如果 fx在 0附近的左侧 ()f，右侧 ，那么 ()fx是极小值注意事项：1我们在求函数 ()yfx的极值时，要求函数 ()yfx在点 0及其附近有定义；否则，如果函数 ()f在点 0及其附近没有定义，那么函数 在点 处及其附近就不存在函数值，因而也就无法比较函数值的大小，也就更谈不上求极值了2函数在极值点的导数值为，但导数值为的点不一定是极值点一般地，函数 ()yfx在一点的导数值为是函数 ()yfx在这点取极值的必要不充分条件，其充分条件是函数 ()f在这一点的导数值为 0 且这点两侧的导函数值异
5、号3函数的导数不存在的点也可能是极值点如函数 ()fx，在 0x处，左侧（0x） ， ()10fx；右侧（ x） ， ()1f当 时， ()f是f（x）的极小值，但 ()f不存在应用三 求函数的最值1对最值概念的理解函数的最大（小）值是一个整体性概念，是对整个定义域而言的最大值必须是定义域上所有函数值中的最大值，最小值必须是定义域上所有函数值中的最小值2函数的最值与极值的区别与联系（1）函数的极值表示函数 ()yfx在某一点附近的情况，而函数的最值则表示函数在定义域上的整体情况函数在定义域上的极值可能不止一个，也可能没有，且函数的极大值与极小值之间没有必然的联系，函数的极小值不一定比它的极大值
6、小；但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，且最大值必须是整个定义域上所有函数值中最大的，最小值必须是整个定义域上所有函数值中最小的（2）函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得（3）函数有极值未必有最值，有最值也未必有极值3求函数 ()fx在闭区间 ab， 上的最大值与最小值的步骤（）求出函数 ()yf在 )， 上的极值；（2）将函数 x的各极值与端点处的函数值 ()fa， fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值特别地，若函数 ()f在 ab， 上单调递增，则 ()f为函数的最小
7、值， ()f为函数的最大值；若函数 x在 ， 上单调递减，则 a为函数的最大值， b为函数的最小值导数应用中的两个“误区”误区之一：把“导数值为 0 的点”等同于“极值点”满足 0()fx的点 x是其为极大（小）值点的必要不充分条件，如果把导数值为的点等同于极值点，往往容易导致失误例 1 函数 23()1)f的极值点是（ ） （A） x （B） 1x（C） 或 或 0 （D） 0误解： 642()3fx，则由 53()620fx得极值点为 1x，1x和 ，故正确答案为（C） 剖析：事实上，这三点都是导数值为的点，但是不是极值点呢？由 532()626(1)fxx知，当 (1)x， 时， ()f
8、x；当10x，时， ()0f；当 ， 时， )0f；当 ， 时， 0()f在（-，-1） 、 （-1 ，0）上单调递减，在（0，1） 、 （1，+）上单调递增因此只有为极小值点， x和 都不是极值点故应选（D） 例 2 已知函数432()bafxx在点 处取极值，且函数4321()xbag在区间 (63)， 上是减函数，求实数 a 的取值范围误解： 32()()fxbax，由 10，得 1， 32()()gxx3aa2()1)x当 时， (0gx， ()在 )， 递减， (623)aa， ， ， 623a ，故所求 a 的范围为 3 剖析：以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到 (1)0f，即
9、 1x是 ()f的导数值为的点当 1b时，32()()()()2()fxaxaxxa，如果 ，那么 就只是导数值为的点而非极值点因此 a 的取值范围应为 3 且 1误区之二：判断单调性时忽略特殊情形当 ()fx在某区间 D 上恒大于 0 时，函数 ()fx在 D 上为增函数若反过来，结论如何呢？例 3 已知函数322()(41)(57)2xfmmx在实数集 R上是增函数，求实数 m 的取值范围误解： 22()()fxx ，依题意， 在 R上恒大于 0，所以 24(68)，得 24m剖析：当 fx时， (fx是增函数，但反之并不尽然如 3()fx是增函数，2()3fx并不恒大于 0（ 时， (0
10、)f） 因此本题应该有 在 R上恒大于或个别值等于 0，所以 24(68m ，得 24m 导数解决优化问题1优化问题生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具2解实际应用问题的程序读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （数学应用） （检验作答）（1）函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，将其转化成函数关系式，确定自变量的定义域；（2）问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义3实际问题的最值中为什么没有考虑端点的函数值有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因
11、而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值例 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x（吨）与每吨产品的价格 p（元/吨）之间的关系式为： 21405px，且生产 x 吨的成本为 502Rx（元） ，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？分析：解本题的关键是利用“利润收入成本”这一等量关系，建立目标函数，注意确定函数定义域，然后利用导数求最值解：设每月生产 x 吨时的利润为21()40(502)fx x35x， （ ） 由 2()40f，解得 1x， 2（舍） ()f在 ， 内只有一个点 20x使 ()fx，又 0， ()fx（当 ） ；在点 2x处， 0，故它就是最大值点，且最大值为 31()240250315f（元） 所以该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达到最大，最大利润为 3150000 元高考试(题)库
