1、推理案例赏析合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等） 、实践和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程合情推理与演绎推理之间联系紧密，相辅相成，下面提供一个公式的推导过程，供同学们赏析，借此加深对两种推理的理解例 设 ， ，已知 ，探1()23Snn 22213Sn 1()2nS求 的一般公式2()思路：（归纳的方案）如表所示，列举出 的前几项，希望从中归纳出一般的结论2()Sn1 2 3 4 5 6 2()1 5 14 30 55
2、91 但是，从表的数据中并没有发现明显的关系这时我们可能会产生一个念头：与 会不会有某种联系？如表 2 所示，进一步列举出 的值，比较 与1()Sn2 1()Sn1()Sn，希望有所发现2 n1 2 3 4 5 6 ()S1 3 6 10 15 21 21 5 14 30 55 91 观察了 和 的相应数据，并没有发现明显的联系怎么办呢？1()Sn2尝试计算终于在计算 和 的比时，发现“规律”了（表 3）1()Sn21 2 3 4 5 6 1()1 3 6 10 15 21 21 5 14 30 55 91 1()Sn7913从表 3 中发现 ，23于是，猜想 2()6nS公式的正确性还需要证
3、明思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路 2：（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和（1）把 中的各项表示出来，有2()Sn1，22(1)1，3，224(1)31 ，22()()nn左右两边分别相加，得 ，2221()()2SnSn等号两边的 被消去了，所以无法从中求出 的值，尝试失败了！2()n2（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出 ，却求出了 的表2()Sn1()Sn达式，即 21(1)()2nnS它启示我们：既然能用上面的方
4、法求出 ，那么我们也应该可以用类似的方法求1()Sn出 2()Sn（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式具体方法如下：1，3322()13，3324(1)31 ，332()()()nn左右两边分别相加，得 323 21()3()SnSnSn由此知 ，终于导出了公3212 )() 66nS式思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？剖析用归纳推理求解一类题归纳是一种“由特殊到一般” ， “由个别到普遍” ， “由表象到实质”的推理，是人类探索规律，认识世界的一种重要思想方法有一类以平面几何为背景
5、，n 条直线（或圆等）相交，推测交点个数或分成的区域个数，成为近年高考热点它综合性强，与数列联系紧密，下面 结合具体例子剖析求解策略 例 平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，若 表示这 个圆把平面分割的区域数，试求 ()fn ()fn分析：由题意推测出递推式，再由递推式求出 f解： 表示 个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这 n 个圆相交，则()fn有 2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成 段弧且每一段弧又将原来的平面区域一分2n为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加 2n 个，即 ，且(1)(2ff(1)f由递推公式得 ， ， ， ，(
6、2)1f(3)f(4)3f，()fnn将以上 个等式累加得 1 2()21(1)fnn例 2 （2005 年广东）设平面内有 条直线（ ） ，其中有且仅有两条直线平行，3任意三条直线不过同一点，若用 表示这 条直线交点的个数，则 ，当()f (4)f时， （用 表示） 4n ()fnn解：因为 表示 条直线交点的个数，若再增加一条直线，则这条直线与前 条直f n线都相交，则交点个数增加 个，故 ，且 n(1)(ffn(2)0f， (3)2(4)3(5)4fff又 ()1)fnn 又将以上各式累加得 22(1)2nfn1()(2fn评析：这类问题直接求解较复杂，可转化为推测任何相邻两项关系，再用
7、数列知识求解练习：（黄冈调考题）已知一个三角形内有 2004 个点，任意一个点都不在其它任何二点的连线上，则这些点（含三角形三个顶点）将该三角形分成不重合的三角形区域有（ ）2004 个 4008 个 4009 个 2005 个答案：演绎推理的三段论演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式其主要形式是由大前提、小前提和推出的结论的三段论式推理，可以表示为：用集合论的观点来讲，就是：若集合 的所有元素都具有性质 ， 是 的子集，那么 中所有元素都具有性质 其推理规则可用符号表示为：“如果 ，则MPS又 ”SP三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第
8、二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生第三个判断结论为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提例 1 如图， 分别是 上的点，DEF又BCA又 BFDA， ，求证： EBA 大前提： 是MP小前提： 是S结论： 是证明：（1）同位角相等，两条直线平行， （大前提）与 是同位角，且 ， （小前提）BFDABFDA所以， （结论）E（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （大前提）且 ， （小前提） 所以，四边形 为平行四
9、边形 （结论）AF（3）平行四边形的对边相等， （大前提）和 为平行四边形的对边， （小前提）ED所以， （结论）上面的证明通常简略地表述为：四边形 是平行四边形 BFAEB AFDEEDAF例 2 已知 均为正实数， ，求证： abm又babma证明： ，0a()()()()bababmbma 又评注：1每一步推理（即每一个“因为” ， “所以” ）都体现一个演绎推理“三段论” ，并且环环紧扣，推理清晰2演绎的前提是一般原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别，特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中3演绎推理是一种必然性推理，因此，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的但错误的前提可能导致错误的结论如整数是自然数（大前提） ，3 是整数（小前提） ，所以3 是自然数（结论） 由错误的大前提导致了错误的结论但将小前提改为：3 是整数，则结论：3 是自然数此时大前提错误，但结论正确4演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较少创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化
