1、25.3 用频率估计概率(第 1 课时)一、内容和内容解析1内容用频率估计概率2内容解析用频率估计概率是继用列举法求概率后又一种求随机事件概率的方法在本章的前两节中给出了概率的意义和概率的古典定义，并利用列举法求一些简单随机事件的概率本节将从统计试验结果的角度研究概率，即通过频率研究概率用频率估计概率不受试验结果种数有限和各种结果等可能条件的限制，因此适用的范围比用列举法更广频率是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，是随机的，在试验前不能够确定而一个随机事件发生的概率是确定的数，是客观存在的，与试验无关频率与概率是有区别的但在做大量重复试验时，随机事件发生的频率会呈现出
2、规律性，即随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率用频率估计概率让学生再次经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识和随机观念，探索和发现数据中隐藏的规律基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用频率估计概率二、目标和目标解析1目标(1)知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率(2)经历抛掷硬币试验和投图钉试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念2目标解析达成目标(1)的标志是：学生明
3、确地知道除了用列举法求概率外，还有另一种获得随机事件概率的方法用频率估计概率，这种方法求出的概率与用列举法求出的概率不矛盾，是可信的，而且这种方法相对列举法适用范围更广泛达成目标(2)的标志是：学生在本节课中能运用之前学习的统计知识解决问题，用划记法记录事件发生的频数，求频率，用折线图描述频率的变化趋势；在分析数据的基础上感受到，尽管频率具有随机性，但在大量重复试验时频率显示出稳定性；能够结合生活实例感受频率与概率的区别与联系，从自身的试验经历和生活经验中达成对用频率估计概率方法合理性和必要性的认可三、教学问题诊断分析在学生以往的数学学习经验中，数学的结论往往给人严谨、确定、明确等印象在这种思
4、维定势的影响下，研究随机事件发生的可能性大小（概率） ，学生感到有些不适应在学习了古典概率之后，学生能够经过计算得出一些随机事件发生可能性大小的精确值，感觉比较容易接受但是如何去研究不能用列举法计算的随机事件的概率，学生没有以往学习经历，需要教师引导用频率估计概率的基础是频率的稳定性规律，这种稳定性中也蕴含着一定的随机性，不是绝对的、确定性的在初学时，学生常常把概率和频率相混淆，往往纠缠于“用哪个数字估计概率才正确” “用频率的平均数估计概率是否更准确”等问题教师要引导学生体会到用频率估计概率本质上是一种估计，其结果不一定十分准确，但很多情况下足以解释现象、解释生活在本节课中，学生将经历抛掷硬
5、币试验和投图钉试验对于抛掷一枚硬币“正面向上”的概率，学生心中已有明确的答案，这里要在各小组重复试验和全班整理数据的基础上感受频率与概率的关系，体会用频率估计概率的合理性投一枚图钉，事先无法确定“钉尖朝上”与“顶尖朝下”的可能性是否相等，无法用列举法求得“钉尖朝上”的概率，要应用所学的新方法用频率估计概率解决问题，并体会用频率估计概率的方法比列举法求概率适用范围更广基于以上分析，本节课的教学难点是：认可用频率估计概率方法的合理性四、教学过程设计1归纳用频率估计概率的方法问题 1 抛掷一枚质地均匀的硬币， “正面向上”的概率为 0.5，是否意味着抛掷一枚硬币 50 次时，就会有 25 次“正面向
6、上”呢？不妨用试验进行检验师生活动：教师布置任务：考察频率与概率是否相同提出活动内容：全班同学三人一组，每组同学抛掷一枚硬币 50 次，统计“正面向上”出现的频数，计算频率，填写表1，并在图 1 中标出对应的点(可用 Excel 表)指出活动要求：第 1 名同学负责抛掷硬币，约达一臂高度，接住落下的硬币，报告试验结果；第 2 名同学用划记法记录试验结果；第3 名同学监督，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随机性，填写表 1，完成图1”学生分组按要求试验、思考表 1组别 1 组 2组3组4 组 5组6组7组8 组 9 组 10 组正面向上”的频数 m“正面向上”的频率 n图 1设计意图：让学
7、生亲身经历抛掷硬币的随机试验，收集和描述数据，培养随机观念，为揭示频率的随机性和稳定性作准备教师追问 1：(1)图 1 中横轴、纵轴分别表示什么？ (2)过纵轴上刻度为 0.5 的点有一条水平直线，它的含义是什么？ (3)各小组标出的点含义是什么？师生活动：学生回答问题(1)组别、 “正面向上”的频率(2)“正面向上”的概率为 0.5(3)各个小组试验 50 次获得的“正面向上”的频率追问 2：频率和概率有什么不同？师生活动：学生对比、思考、讨论并发现：抛掷一枚硬币 50 次并不一定有 25 次正面向上，频率和概率是有区别的，概率是确定的常数，频率是不确定的、是随机的设计意图：通过阅读图表、思
8、考交流，让学生感受到频率与概率的区别问题 2 如果重复试验次数增多，结果会如何？师生活动：师生讨论，由于试验条件基本相同，可以用逐步累加各组数据的方法近似地模拟重复试验次数不断增多的情况教师组织学生整理试验数据，完成表 2(第 1 组的数据填在第 1 列，第 1，2 组的数据之和填在第 2 列10 个组的数据之和填在第 10 列)，1.00.5O 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 10组 组别“正面向上”的频率 mn并在图 2 中标出对应的点表 2抛掷硬币次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500正面向上”的频数 m“正面向上”的
9、频率 n图 2设计意图：全班合作对分组试验获得的数据进行整理和分析，鼓励和引导学生探索数据中隐藏的规律，提高学生的统计意识教师追问 1：随着重复试验次数的增加， “正面向上”的频率的变化趋势是什么？师生活动：教师利用投硬币模拟软件演示一组投硬币 1 000 次的模拟试验，学生将模拟试验的结果与全班真实试验的结果作比较，归纳发现：正面向上的频率在 0.5 左右摆动，随着抛掷次数的增加，在 0.5 左右摆动的幅度越来越小设计意图：引导学生发现，尽管频率具有随机性，但在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率表现出一定稳定性教师追问 2：阅读另外六组投硬币 1 000 次模拟试验得到的图表（见附录
10、） ，你读出哪些信息？师生活动：学生阅读图表，进一步认可，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率表现出稳定性教师可以继续追问：“每组试验得到的折线完全相同吗？” “试验次数较少时、与试验次数很大时折线有哪些特点？”引导学生发现，由于随机事件的随机性，每组试验得到的频率折线都不尽相同，但都无一例外的显示出，在做大量重复试验时频率表现出稳定性；试验次数较少时，频率表现出随机性的可能性很大，随着重复试验次数的不断增加，频率表现出稳定性的可能性越来越大1.00.5O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 抛掷次数 n“正面向上”的频率 mn教师出示历史上一
11、些抛掷硬币试验的结果并给出：对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性频率稳定性规律不但由人们大量的生活实践所验证，还由数学家雅各布伯努利给出了严格的证明设计意图：引导学生进一步认识频率的随机性和稳定性，帮助学生理解频率的稳定性规律教师追问 3：上述规律中的“固定数”是什么？师生活动：学生回答，这个“固定数”就是“概率” 进而理解：抛掷一枚硬币“正面向上”的概率为 0.5，并不意味着抛掷 2n 次一定有 n 次正面向上(频率具有随机性)；它意味着，当抛掷次数 n 越来越大时，正面向上的频率会越来越稳定于 0.5(
12、频率具有稳定性)由于频率具有这样的性质，教师借此引导给出“用频率估计概率”的方法设计意图：让学生再一次体会随机事件概率的意义，给出用频率估计概率的方法2运用频率估计概率的方法解决问题问题 3 投一枚图钉，你能估计出“钉尖朝上”的概率吗？师生活动：学生讨论，发现由于无法确定“顶尖朝上” “顶尖朝下”的可能性是否相等，不能用列举法求这个随机事件的概率，有必要采用新学的方法用频率估计概率设计意图：让学生意识到用频率估计概率是一种获得随机事件的新方法，它的使用范围比用列举法求概率更广教师追问 1：动手做试验前，先猜一猜：“钉尖朝上”的可能性大还是“钉尖朝下”的可能性大？“钉尖朝上”的概率大约是多少？师
13、生活动：学生根据生活经验进行猜测，教师记录，用于与试验结果进行比较设计意图：明确概率是一个存在的、确定的数值，再一次体会概率的意义教师追问 2：如何获得这一概率值？师生活动：学生回答：重复试验教师组织学生活动：每组同学投一枚图钉 50 次，统计“钉尖朝上”出现的频数，逐步累加全班数据(可用 Excel 图表功能)，观察频率变化折线图，估计“钉尖朝上”的概率提出活动要求：“水平拿图钉，从视线高度松手，让图钉下落，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随机性学生分组试验，全班合作完成表 3、图 3表 3抛掷次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500正面向
14、上”的频数 m“正面向上”的频率 n图 3设计意图：让学生运用新学方法（用频率估计概率）解决问题，进一步培养学生的随机观念和统计意识教师追问 3：能否用列举法求上述随机事件的概率？为什么？用频率估计概率与用列举法求概率在适用范围上有什么不同？师生活动：学生分析、讨论，得出结论：不能用列举法求概率仅适用于“各种结果出现的可能性相等”的随机事件，用频率估计概率不受这个条件限制设计意图：让学生体会到，用频率估计概率，虽然不像列举法能够确切地计算出随机事件的概率，但它具有更广泛的适用范围，对不能用列举法求概率的随机事件，可以通过大量重复试验估计出其概率3小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学
15、生回答以下问题：(1)目前我们学习了哪些求随机事件概率的方法？(2)结合你的生活经验，说说你对频率与概率之间关系的认识设计意图：归纳小结，巩固频率的稳定性规律和用频率估计概率的方法4布置作业教科书习题 25.3 第 4 题设计意图：巩固用频率估计概率的方法，解决实际问题激发学生继续探究的兴趣，1.00.5O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 抛掷次数 n“正面向上”的频率 mn再次体会“用频率估计概率”方法在非古典概型问题中的应用价值五、目标检测设计1下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是( )A某运动员在某种条件下“ 射中
16、 9 环以上”的概率B某种幼苗在一定条件下的移植成活率C某种柑橘在某运输过程中的损坏率D投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率设计意图：考查学生对两种求概率方法适用范围的认识2判断题(1)投掷一枚硬币“正面向上”的概率为 ，这意味着，投掷这枚硬币 10 次，有 5 次12正面朝上 ( )(2)一种奖券“特等奖”中奖率为 ，于是买 10 000 张这种奖券，就一定能得到10 “特等奖” ( )设计意图：考查学生对频率、概率，以及用频率估计概率含义的理解3某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数 20 40 100 200 400 1 000“射中 9 环以上”的次数 15 33 78 158 321 801“射中 9 环以上”的频率(1)计算表中相应的“射中 9 环以上”的频率(结果保留小数点后两位)(2)这些频率具有怎样的稳定性？(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率(结果保留小数点后一位)设计意图：考查学生对用频率估计概率含义和方法的理解，提高应用数学知识解决问题的意识附录：1 000 次第二组试验：1 000 次第一组试验：1 000 次第三组试验：1 000 次第四组试验：1 000 次第五组试验：1 000 次第六组试验：
