1、21.3 实际问题与一元二次方程一、内容和内容解析1内容列一元二次方程解决有关“增长率”的实际问题等量关系是：平均变化率为 x，则变化前数量(1x) 2变化后数量2内容解析探究 2 以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等本节讨论两轮(即两个时间段)的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型涉及成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元；后者表示相对变化量，是表示比率的数字通过这个问题，可以使学生认识到分析问题时应对变化额与变化率两者兼顾，这样才能全面比较对象的变化状况二、目标和目标解析1目标(1
2、)能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；(2)进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识2目标解析达成目标(1)的标志是：能分析出关于增长率的实际问题中第一个时间段和第二个时间段的平均变化率的表示，从而选择合理的未知数，列出相应的代数式，分析等量关系，列出正确的方程来解决实际问题达成目标(2)的标志是：在一元二次方程解决增长率问题的过程中，对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)，以及需注意的事项进行回顾、总结和深化体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型三、教学问题诊断分析通过探究 1 的学习，学生积累了一定的应用一元二次
3、方程的实际模型解决实际问题的经验和方法本课时实际问题中的数量关系比探究 1 更复杂学生理解题意的困难是：“第一个时间段” ， “第二个时间段”变化后的量与变化前的数量和平均增长率的关系在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式的表示问题四、教学过程设计1分析平均变化率问题的数量关系问题 1 填写下列空格:1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg， 第二年的产量为_kg，第三年的产量为_kg2某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是_；2014 年的产量将是_师生活动：学生独立
4、思考，讨论交流结果在学生活动过程中，提出以下问题：(1)什么是年平均变化率？(2)怎么利用平均变化率表示各时段的数量关系？(3)第二个时间段变化后的数量应如何用平均变化率来表示？ 问题 2 你能归纳一下上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 师生活动：学生独立思考后，师生一起总结得出，与变化率相关的问题的等量关系是：设平均变化率为 x，则变化前数量(1x) 2变化后数量设计意图：明确与变化率相关的实际问题中的数量关系，为建立一元二次方程模型解决增长率问题打好基础2解决变化率问题问题 3 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术
5、的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？师生活动：学生小组交流、讨论，代表回答教师可以穿插提出下列问题：(1)这个问题有几个变化对象？(甲种药品、乙种药品)(2)它们的年平均下降额各是多少？甲种药品成本的年平均下降额为(5 0003 000)21 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 0003 600)21 200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大(3)年平均下降额(元)等于年平均下降率(百分数)吗？年平均下降率体现了哪两个量之间的关系？这两个量之间经过几次变化？怎样列式表示？成本下降额
6、表示绝对变化量，单位是元；成本下降率表示相对变化量，是表示比率的数字甲 种 药 品 两 年 前 的 成 本 5 000 元 ， 设 年 平 均 下 降 率 为 x， 一 年 后 甲 种 药 品 成 本 5 000(1 x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1x) 2 元，于是有 5 000(1x) 23 000解方程，得 x10.225， x21.775(4)这两个根都是甲种药品的平均下降率吗？为什么？根据问题的实际意义，成本的年下降率应是小于 1 的正数，所以应选 0.225所以根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%(5)类比甲种药品求年平均下降率的方法，你能求出
7、乙种药品成本的年平均下降率吗？类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6 000(1x) 23 600 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225(6)这两种药品成本的年平均下降率是什么关系？你又能得到什么结论呢？两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大成本下降额表示绝对变化量成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况设计意图：在学生独立思考的基础上进行合作讨论，通过问题串的设置，引导学生在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值将成本下降额与成本下降率这两个接近而不同的概念进行区分，通过计算，可以使学生认识到分析问题时
8、应兼顾变化额与变化率3练习巩固教科书第 22 页练习 7设计意图：巩固整个解题思路：审、设、列、解、验、答，从而加深学生对此类问题的掌握情况4小结问题 4 你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系设计意图：通过归纳，明确“变化率问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法5 布置作业教科书第 26 页复习题 21 第 9 题6 目标检测设计向阳村 2010 年的人均收入为 12000 元，2012 年的人均收入为 14520 元，求人均收入的年平均增长率设计意图：检测学生对变化率问题的掌握情况
