1、参数方程考点要求1 了解参数方程的定义。2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。3 掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。考点与导学1 参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变量 的yx,t函数 (t T) （1）)(tgyfx这里 T 是 的公共定义域。并且对于 t 的每一个允许值。由方程（1）所确定的点,f。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数 t 叫做参数。),(yxM2 过点 倾斜角为 的直线 的参数方程,0pl（I） （t 为参数）sinco0tyx（i）通常
2、称（I）为直线 的参数方程的标准形式。其中 t 表示 到 上一点l ),(0yxpl的有向线段 的数量。),(yxpp0t0 时，p 在 上方或右方； t0 时. （1）中的 t 才具有（I）中的 t 所具有的几何意义。2ba2 圆的参数方程。圆心在点 半径为 r 的圆的参数方程是 （ 为参数）),(0yxosinco0ryx3 椭圆 的参数方程。 （ 为参数）12basincobyax4 双曲线 的参数方程： （ 为参数）2yxtae5 抛物线 的参数方程。 （t 为参数）pxy2pyx2例 1 已知某曲线 C 的参数方程为 （其中 t 是参数， ）,点 M（5，4）在21at Ra该曲线上
3、。 （1）求常数 ；（2）求曲线 C 的普通方程。a解：（1）由题意可知有 故 451t1t（2）由已知及（1）可得，曲线 C 的方程为 由第一个方程得 代入第二2tyx21xt个方程得： 。即 为所求。2)1(xyx4)(2点评 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 。根据 t 的取值范围导出 的取值范围。)(),(tgytf yx,例 2 圆 M 的参数方程为 （R0 ）.(1) 求该圆的03sin4co22 RyRxx圆心的坐标以及圆 M 的半径。 （2）当 R 固定， 变化时。求圆心 M 的轨迹。并证明此时不论 取什么值，所有的
4、圆 M 都外切于一个定圆。解：（1）依题意得 圆 M 的方程为 故圆心的坐22)si()cs(yx标为 M（ 。R半 径 为).sin2,co（2）当 变化时，圆心 M 的轨迹方程为 （其中 为参数）两式平方相加sin2coRyx得。所以所有的圆 M 的轨迹是圆心在原点。半径为 2R 的圆224Ryx由于 所以所有的圆 M 都和定圆R2)sin()cos( 32外切，和定圆 内切。2yx9yx点评本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。例 3 已知 A，B 分别是椭圆 的右顶点和上顶点，动点 C
5、 在该椭圆上运动，求19362yxABC的重心的轨迹的普通方程。解：由动点 C 在椭圆上运动，可设 C 的坐标为（6cos ,3 ）,点 G 的坐标为 .sin),(yx依题意可知：A（6，0） ，B（0，3） 由重心坐标公式可知由此得： sin13sico2cyx )2(sin1coyx得2)(1即为所求。)(4)2(2x点评本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。“平方法”是消参的常用方法。例 4 求经过点（1，1） 。倾斜角为 的直线截椭圆 所得的弦长。0135142yx解：由条件可知直线的参数方程是： （t 为
6、参数）代入椭圆方程可得：yx21即 设方程的两实根分别为 。)21(4)21(tt 0352tt 21,t则 则直线截椭圆的弦长是 5621t 564)(212121 ttt点评利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。即 （t 为参数）当 且 b0 时才是标准形式。若byax0 12ba不满足 且 b0 两个条件。 则弦长为 d=12ba 21)(t解题能力测试1 已知某条曲线的参数方程为： 其中 是参数。则该曲线是（ ）)1(2ayxA 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分2 已知某条曲线的参数方程为 则该曲线是（ ）123tyx)5
7、0(tA 线段 B 圆弧 C 双曲线的一支 D 射线3 实数 满足 ，则 的最大值为： ；最小值为 。yx,9162xz4 已知直线 的斜率为 .经过点 。点 M 在直线上，以 的数量 tlk)1,2(0 M0为参数.则直线 的参数方程为： 。5 已知直线 的参数方程是 （t 为参数） 其中实数 的范围是 。lcos2in1ytx ),2(则直线 的倾斜角是： 。潜能强化训练1 在方程 （ 为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ）2cosinyxA B C D )7,2()3,1()21,()0,1(2 下列参数方程（t 为参数）与普通方程 表示同一曲线的方程是（ ）yxA B C D t
8、yxtyx2cost2cos1tantyx2cos1tan3 直线 与圆 （ 为参数）的位置关系是（ ）094xsinA 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直线不过圆心。4 设直线 （t 为参数） 。如果 为锐角，那么直线sin2co1ty01:21xll到 直 线的角是（ ）A B C D 225 过点（1，1） ，倾斜角为 的直线截椭圆 所得的弦长为（ ）o135142yxA B C D 242536 双曲线 （ 为参数） ，那么它的两条渐近线所成的锐角是： 。sectan3yx7 参数方程 （ 为参数）表示的曲线的普通方程是： cosin2yx。8 已知点 M（2，1）和双曲线
9、，求以 M 为中点的双曲线右支的弦 AB 所在直12x线 的方程。l9 已知椭圆的中心在原点。焦点在 轴上且长轴长为 4，短轴长为 2。直线 的参数方程为y l（t 为参数） 。当 m 为何值时，直线 被椭圆截得的弦长为 ？mytx2l 60、求椭圆 上的点到直线 的最大距离和最小距离。126yx 012:yx知识要点归纳1 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。2 面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去领会。3 在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。四、参数方程解题能力测试1C 2、A 3、5，-5 4、 5、21xty3潜能强化训练1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、60 0 7、 21()yx8、 9、 10、0xy45mmaxmin4545dd
