1、9.1.2 不等式的性质(第 1 课时)一、内容和内容解析1内容不等式的性质2内容解析本节课是在学生学习了等式的性质，掌握了一元一次方程解法的基础上，研究不等式的性质不等式的性质是解不等式的重要依据，因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础通过类比等式的性质，观察具体数值、归纳不等式的性质，既能让学生感受运算中的不变性，获得猜想，又能让学生从具体到抽象，用符号语言表述结论理解不等式的性质，一是辨析，特别是不同于等式的性质；二是应用，即利用不等式的性质将不等式逐步化为xa 或 xa 的形式，解简单的不等式基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索不等式的性质 二、教材解析教材类比等式的性质，
2、通过观察、对比，归纳得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式不等式的性质是解不等式的重要依据，解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生教科书设计了“思考”栏目，通过观察具体数字运算的大小比较，联系已学习过的等式的性质，让学生归纳出不等式的三条基本性质，并分别用式子的形式表示它们 不等式的性质是本章的基础知识，教材中注意让学生经历从观察具体数值到获得猜想(即归纳一般规律)再到应用性质的过程三、教学目标和目标解析1教学目标(1)探索并理解不等式的性质 (2)体会探索过程中所应用的归纳和类比的数学思想方法2目标解析
3、达到目标(1)的标志：学生能通过观察、比较具体数字运算的大小，联系等式的性质，归纳出不等式的性质面对变形后的式子，能利用不等式的性质判断它们的大小 达到目标(2)的标志：学生能通过反思、总结探索过程，了解归纳和类比是获得数学发现的常用思想方法四、教学问题诊断分析学生的认知基础：第一，会比较数的大小；第二，理解等式的性质并知道等式的性质是解方程的依据；第三，知道不等式的概念；第四，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力和合情推理能力学生认知的主要障碍：第一，探索不等式性质时，如何与等式性质进行类比，类比什么，思路不是很清晰；第二，探索不等式性质 2，3 时
4、，由于学生思维的片面性，会产生考虑不到不等式两边乘或除以同一个负数的情况；第三，运用不等式性质时，由于已有知识经验产生的负迁移，学生不理解运用性质 3 时“为什么要改变不等号的方向” ，以及在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向” 基于以上分析，确定本节课的教学难点：不等式性质 3 的探索及其理解五、教学过程设计1复习引入教师引出本节课所学内容：在上一节课，我们学习了什么是不等式对于某些简单的不等式，我们可以直接想出它们的解集，但是对于比较复杂的不等式，例如 2615x，直接想出解集就比较困难因此，还要讨论怎样解不等式与解方程需要依据等式45x的性质一样，解不等式需要依据不等式
5、的性质这节课我们先来看看不等式有什么性质问题 1 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？师生活动：学生通过回忆回答问题，并由师生共同整理成下表【设计意图】本表由学生口述，教师逐条写在黑板上，保留至探究完不等式的性质，并将不等式的性质列于其旁，以便学生在探索不等式性质时，对比等式的性质，也有助于学生时刻类比等式的性质，正确表述(文字语言和符号语言)不等式的性质 文字语言 符号语言性质 1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果 ab，那么 acbc ， ac b c性质 2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等如果 ab，那么 acbc 如果 ab(c
6、0) ，那么 cab2探究新知问题 2 研究等式的性质的基本思路是什么？师生活动：学生各抒己见，必要时，教师给予提示：等式的性质就是从加减乘除运算的角度研究运算的不变性【设计意图】从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，通过总结等式的性质就是研究运算中的不变性，明确不等式性质的研究方向 问题 3 为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算开始用“”或“”完成下列两组填空，你能发现其中的规律吗？53，52_32，5(2)_ 3(2)，50 _ 30 ；13，12_ 32，1(3) _3(3)，10_ 30师生活动：学生完成填空教师引导学生类比等式性质 1，观察不等式加法运算中的不
7、变性，即不等号的方向是否改变由学生叙述发现的规律，并对比等式性质 1 进行修正，教师指出：减去一个数等于加这个数的相反数，所以不等式两边减同一个数(或式子)的情况可以转化为不等式两边加同一个数(或式子)的情况，从而获得猜想 1：当不等式两边加(或减)同一个数(或式子)时，不等号的方向不变【设计意图】研究运算中的不变性，首先研究加法运算让学生通过比较具体数字加一个正数、负数、0 之后的大小，观察不等号的变化，发现并归纳其中的规律，从而提出猜想追问：猜想 1 是否正确？如何验证？师生活动：让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想 1 进行验证教师从中选取一些典型例子进行展示，师生共
8、同讨论、确认猜想 1 的正确性，从而获得一般性的结论，即不等式的性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变【设计意图】让学生自己从所加(减)数字分别取正数、负数、0 的不同情况入手分析，通过举例验证，确认猜想 1，从而获得不等式的性质 1但值得注意的是，举例验证虽是确认猜想的一种方法，但结论的正确与否仍需要严格证明问题 4 类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质 1 用符号语言表示吗？师生活动：学生将文字语言转化为符号语言，教师将结论填写在表格中【设计意图】用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性，发展学生文字语言与符号语言相互转化的能力问题
9、5 研究完不等式两边加(或减)同一个数(或式子)的情况，对比等式的性质，下面我们要研究什么问题？如何研究？师生活动：学生回答，教师修正，明确研究方向：不等式两边乘(或除以)同一个数的情况师生先考虑不等式两边乘 0 的特殊情况，教师再指出，除数不能为 0，因而以下分不等式两边乘(或除以)同一个正数和不等式两边乘(或除以)同一个负数两种情况讨论教师给出两组例子让学生进行研究用“”或“”填空，并总结其中的规律： 62，65 _25，6(5)_ 2(5)； 23，(2)6_ 36，(2)(6)_ 3(6)学生完成填空教师引导学生类比等式性质 2，观察不等式乘法运算中的不变性，即不等号的方向是否改变由学
10、生叙述发现的规律，并对比等式性质 2 进行修正，教师指出：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以不等式两边除以同一个数的情况可以转化为不等式两边乘同一个数的情况，从而获得猜想 2、猜想 3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想 2、猜想 3 进行验证教师从中选取一些典型例子进行展示，师生共同讨论、确认猜想 2 和猜想 3 的正确性，从而获得一般性的结论，即不等式的性质 2，3，并将其符号表示填写在表格中性质 2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变性质 3 不等式
11、两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变【设计意图】不等式性质 2，3 完全放手给学生自主探索，即让学生类比等式的性质 2和不等式性质 1 的研究过程，经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的思考过程而教师要及时发现学生自主探索中的问题，并组织学生共同讨论典型问题，突破难点问题 6 等式的性质与不等式的性质的主要区别是什么？师生活动：师生共同总结，以表格形式归纳此表格的生成是在上课过程中逐条适时添入，呈现在黑板上，而不是一次给出等式性质 不等式性质文字语言 符号语言 文字语言 符号语言【设计意图】引导学生再次将等式性质与不等式性质进行对比通过表格让学生对比它们的相同点与不同点，有利于学生更好地掌
12、握不等式的性质3运用新知例 1 设 ab，用“”或“”填空，并说明依据不等式的那条性质：(1)3a_3b； (2)a8_b8； (3)2a_2b；(4) _ ； (5)3.5b1_3.5a12师生活动：学生依据不等式的性质对不等式 ab 进行变形，得到结果【设计意图】由浅入深的练习帮助学生进一步理解不等式的性质，为下节课利用不等式性质解不等式作准备例 2 若 ab，则下列不等式中，成立的是( )Aa6b6 B3a3bC Da1b12师生活动：学生选出答案，教师追问理由，展开讨论【设计意图】通过辨析，检测学生能否正确应用不等式的性质练习 设 mn，用“”或 “”填空：(1)m5_n5；(2)2m
13、5_2n5；(3)3.5m5_3.5n5 4归纳总结性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果 ab，那么 acbc， ac b c性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变如果 ab，那么 acbc，ac b c性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变如果 ab，c0 ，那么 ac bc，(或 )c性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等如果 ab，那么 ac bc如果 ab(c0) ，那么 性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变如果 ab，c0 那么 ac bc，(或 )c师生共同总结本节课内容，并
14、请学生回答下列问题：(1)不等式的性质是什么？不等式的性质与等式的性质的联系与区别是什么？(2)在研究不等式的性质的基本过程中体现了什么数学思想方法? 【设计意图】引导学生对本节课知识进行梳理，掌握不等式的性质5布置作业必做：教科书习题 9.1 第 4，6 题选做：(1)小军说不等式 a2a 永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以 a，就会出现 12，这样的错误结论，他的说法对吗？ (2)比较a 与2a 的大小六、目标检测设计1用“”或“”填空：(1)如果 ab，那么 ac_bc；(2)如果 ab，且 c0，那么 ac_bc；(3)如果 ab，且 c0，那么 _ c【设计意图】本题考查学生对不等式性质的符号表示的理解2若 ab，则下列不等式中，不成立的是( )Aa3b3 B3a3bC Dab【设计意图】本题考查学生是否会利用不等式性质对不等式进行简单变形3按下列要求，写出仍能成立的不等式：(1)x26，两边都减 2，得_；(2)x50，两边都加5，得_；(3) m2，两边都除以 ，得_；53(4) x1，两边都乘 ，得_8787【设计意图】本题考查学生是否能应用不等式的性质
