1、xyOP0rxO1(,)Py1,y圆的参数方程1圆的参数方程的推导设圆 的圆心在原点，半径是 ，圆 与 轴的正半轴的交点OrOx是 ，设点在圆 上从 开始按逆时针方向运动到达点 ，0P0P，则点 的位置与旋转角 有密切的关系：当 确定时，点 在圆上的位置也随着确定；当 变化时，点 在圆上的位置也随着变 化这说明，点 的坐标随着 的变化而变化P设点 的坐标是 ，你能否将 、 分别(,)xyxy表示成以 为自变量的函数？根据三角函数的定义， ， cosinry显然，对于 的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆 上。(,)PxyO我们把方程组叫做圆心为原点、半径为 的圆的参数r方程， 是参数圆心为
2、 ，半径为 的圆的1(,)abr参数方程是怎样的？圆 可以看成由圆 按向量1O平移得到的（如图） ，(,)vab由 可以得到圆心为 ，半径为 的圆的1P1(,)abr参数方程是 （ 为参数）cosinxryb2参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 、 都是xy某个变数 的函数，即 txftyg并且对于 的每一个允许值，方程组所确定的点 都t (,)Mxy在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 、 之间关系的变数叫做参变数，简称参数xy说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数3参数方程和普通方程的互化相 对 于 参 数 方
3、 程 来 说 ， 前 面 学 过 的 直 接 给 出 曲 线 上 点 的 坐 标、 关 系 的 方 程 ， 叫 做 曲 线 的 普 通 方 程 xy将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化如：将圆的参数方程的参数 消去，就得到圆的普通方程22()()xaybr（三）例题分析：例 1把下列参数方程化为普通方程：（1） （ 为参数） （2） （ 为参数）23cosinxy21xtyt解：（1） ，cos(1)3in22xy，由 得 ，这就是所求的普通方程2()()()194x（2）由原方程组得 ，把 代入 得ytyx2t，化简得： （ ） ，21()x20这就
4、是所求的普通方程说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与 、 的取值范围之间的制约关系，保持等价性xy例 2如图，已知点 是圆 上的一个动点，定点P216xy，当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹A(1,0) PAM是什么？OyxP解：设点 ，圆 的参M(,)xy216数方程为 ，4cosin设点 P ，(4cos,in)由线段中点坐标公式得，12siy即点 轨迹的参数方程为 ，M2cos6inxy点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆(6,0)【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？又解：设 ， ，(,)xy0(,)P点 是线段 的中点， ， ，MA012xy012xy点
5、在圆上， ， ，0(,)Pxy2016x22()(16x即点 的轨迹方程为 ，()4y点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆M6,2例 3已知实数 、 满足 ，xy230xy（1）求 的最大值；（2）求 的最小值解：原方程配方得： ，22(1)()4xy它表示以 为圆心， 为半径的圆，用参数方程可表示(,3)为 （ 为参数， ） ，12cosinxy02（1） ，22()(3sin)4(3sinco)8sin()86当 ，即 时， 6232max()16y（2） ，(sinco)sin()314xy 当 ，即 时， 454max()2y说明：本题也可数形结合解五小结：1圆心为原点、半径为 的圆的参数方程 ， （ 为参数） ；rcosinxry2圆心为 ，半径为 的圆的参数方程 （ 为参数） ；1(,)Oabsiabr3参数方程和普通方程的互化，要注意等价性补充：已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，C2cosinxy是曲线 上任意一点， ，求 的取值范围(,)Pxytxt
