1、配方法求函数的值域( 或最值)的策略配方法求函数的值域(或最值)就是将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域(或最值)，但对一些形式上不是标准二次式的表达式，常常需要经过适当的变换，才能配方.下面举例说明.一、直接配方例 1 求函数 y=4 的值域.3+2x x2解：由 3+2xx 20，得1x 3，y=4 =4 ，当 x=1 时，y min=2；当 x=-1 或 3 时，3+2x x2 (x 1)2+4ymax=4原函数的值域为：y|2y4.例 2 求函数 y=x4+ 1 的值域.1x4解：y=x 4+ 1 =(x2 )2+1，当且仅当 x2= ，即
2、x=1 时，y min=1.1x4 1x2 1x2原函数的值域为：y|y 1.二、分离后配方例 2 求函数 y= 的值域 . x2-xx2-x+1解：将原函数变为：y=1 =1 ,(x )1x2-x+1 122+ ，0 ，34 34 1x2-x+1 43 1 1, 即 y1.原函数的值域为：y | y1.13 1x2-x+1 13 13例 3 求函数 y= 的值域.x-3x2-4x+4解：原函数变为：y= = =( )2+ =( )2+ ，x-3(x-2)2(x-2)-1(x-2)2 1x-2 1x-2 1x-2 12 14则当 = ，即 x=4 时，y max= ，故原函数的值域为：y|y
3、.1x-212 14 14三、换元后配方例 4 已知 f(x)的值域为 ， ，试求函数 y=f(x)+ 的值域.38 49 1 2f(x)解：令 t= ，则 f(x)= ，则 y=t+ = (t22t1)= (t1) 2+1.1 2f(x)1-t22 1-t22 12 12由 1-2f(x)0，得 f(x) .又f(x) ， ， ， t ，则12 38 49 38 1-t22 49 13 12当 t= 时，y max= ；当 t= 时，y max= .故原函数的值域为： ， .13 79 12 78 79 78四、平方后配方例 5 求函数 y= + 的值域.x 3-x解：由 得函数的定义域为
4、0x3，y0.)原函数变为 y2=3+2 =3+2 .x(3-x)由 0x3，得 0(x )2+ ，3y 26.故原函数的值域为 ， 32 94 94 3 6例 6 如果 x、y 满足(x -2)2+y2=3，那么 的最大值是( )yx解：y 2=3-(x-2)20，2- x 2+ .3 3又( )2= = = + 1=( 2) 2+3，yx y2x23-(x-2)2x2 1x24x 1x当 =2，即 x=2 时，( )2max=3，故 的最大值是 .1x yx yx 3五、双配方双配方公式：a 2+b2= + .(a+b)22 (a-b)22例 6 若 x，yR，且 x2+y2=10，求 u=x+y 的最大值与最小值.解：x 2+y2= + ， + =10， =10(x+y)22 (x-y)22 (x+y)22 (x-y)22 (x-y)22.(x+y)22由 x，yR 知 0，所以 10 0，解得2 x+y2 .(x-y)22 (x+y)22 5 5u=x+y 的最大值为 2 ，最小值为2 .5 5
