1、1.2 函数及其表示我们生活的世界时刻都在发生变化，变化无处不在.这些变化着的现象都可以用数学有效地描述它们的变化规律.函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过函数模型可以帮助我们科学地预测将发生什么，进而解决实际问题因此，学习函数知识对研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义教科书采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打了感性基础，而且注重培养了学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.函数的表示是本节的主要内容之一.
2、学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识.在本节中，教科书从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用；在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.本教科书将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，并
3、让学生将更多的精力集中于理解函数的概念，同时，也体现了特殊到一般的思维过程.1.2.1 函数的概念（1）从容说课函数是中学数学的一个重要概念，也是高中数学的一条主线.函数在初中已学过，不过较肤浅，本课主要是从两集合间对应来描绘函数的概念，是一个抽象过程，学生学习可能有所不适应.教学中宜逐步设计合理的阶梯，从实际问题逐步建构函数的初步定义，对于“对应”二字宜进行适当解释.函数概念的引入，一般有两种方式，一种方式是先学习映射，再学习函数；另一种方式是通过具体实例，体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（单值对应） ，即函数考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，教材采用
4、后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念标准对函数概念的处理方式是强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法.三维目标一、知识与技能1.了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素.2.了解“区间” “无穷大”等概念，掌握区间的符号表示.二、过程与方法1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数，
5、体会对应关系在刻画函数概念中的作用.2.通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想.三、情感态度与价值观1.能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考.2.函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，通过本节的学习，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点.教学重点在对应的基础上理解函数的的概念.教学难点对函数概念的理解.教具准备多媒体.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化，请大家看（多媒体播放：把教科书上的三个实例制成多媒体）镜头 1：教科书 P17 实例（1
6、）.（旁白：随着时间 t 的变化，炮弹距地面的高度 h 在变化）镜头 2：教科书 P17 实例（2）.（旁白：南极上空臭氧层空洞的面积随着时间的变化而变化）镜头 3：教科书 P18 实例（3）.（旁白：我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少）师：这些都说明了当时间变化时，另一个量也随之变化.（多媒体播放）镜头 4：某人 1 元钱买 1 件商品，另一个人 2 元钱买 1 件商品.（旁白：不同的钱数买不同量的商品）镜头 5：一只盒子有 6 只乒乓球，拿出 10 盒子，再拿出 20 盒子.（旁白：盒子增多球量增大）师：这些变化着的现象，说明当一个变量变化时，另一个变量随之变化.同学们能否再举出类似事例
7、来?生 1：我们的身高随着我们的岁数变化.生 2：不对，20 岁后，我们身高不长了.师：不错，但身高随着年龄的变化而变化是一个事实，这里变化是一个抽象的概念，说对应更确切.其实在初中我们已初步用函数来刻画和描述两个变量之间的依赖关系，今天我们进一步研究函数的知识.（板演函数的概念）二、讲解新课与学生共同分析、归纳上面的几个例子，寻求它们的共性，发现：对于数集 A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，记作 f：AB.由此得出函数的概念.1.函数的概念（1）函数的传统定义设在某变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，
8、y都有唯一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫做自变量.（2）函数的近代定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（ x） ，xA.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f（ x）| xA叫做函数的值域.我们所熟悉的一次函数 y=ax+b（a0）的定义域是 R，值域也是 R.对于 R 中的任意一个数 x，在 R 中都有唯一的数 y
9、=ax+b（a0）和它对应 .二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的定义域是 R，值域是 B.当 a0 时，B =y|y；当 a0 时，B= y|y .对于 R 中的任意一个数 x，在 B 中都有唯一bac42c42的数 y=ax2+bx+c（a0）和它对应.对函数概念的理解（老师和学生共同探讨得出以下结论）： 函 数 的 两 个 定 义 本 质 是 一 致 的 ， 只 是 叙 述 概 念 的 出 发 点 不 同 ， 传 统 定 义 是 从 运 动变 化 的 观 点 出 发 ， 而 近 代 定 义 是 从 集 合 与 对 应 的 观 点 出 发 .这 样 ， 就 不 难 得 知 函 数 实质
10、 是 从 非 空 数 集 A 到 非 空 数 集 B 的 一 个 特 殊 的 对 应 .函 数 的 近 代 定 义 更 具 有 一 般 性 ，例 如 函 数 f（ x） = 如果用运动变化的观点来解释，会显得十分勉强，,01,是 无 理 数 时当 是 有 理 数 时当 x但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.函数的三要素：定义域、值域和对应关系 f.其中核心是对应关系 f，它是函数关系的本质特征.y=f（x ）的意义是：y 等于 x 在关系 f 下的对应值，而 f 是“对应”得以实现的方法和途径，是联系 x 与 y 的纽带，所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系，这是无
11、关紧要的.两个函数相同当且仅当它们的定义域与对应关系在实质上（不必在形式上）分别相同.函数的定义域是自变量 x 的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.忽视了函数的定义域，我们将寸步难行，由此，我们也往往把函数的定义域称之为函数的“灵魂”.【例 1】 判断下列对应是否为函数：（1）x ，x0，x R；2（2）xy，这里 y2=x，xN，yR.解：（1）对于任意一个非零实数 x， 被唯一确定，所以当 x0 时，x 是函数，22这个函数也可以表示为 f（x ） = （x0）.（2）当 x 4 时 ， y 由 y2=4 给 出 ， 得 y 2 和 y 2， 即 给 定 一 个 x=4， 有
12、 两 个 y 的值 （ 2） 和 它 对 应 ， 所 以 x y（ y2=x） 不 是 函 数 .（自己输入一个 x 的值试一试）方法引导：判断函数的标准可以简记成：两个非空数集 A、B，一个对应关系 f，A 中任一对 B 中唯一.【例 2】 求下列函数的定义域：（1）f（x）= ；1x（2）g（x）= .1x解：（1）因为当 x10，即 x1 时， 有意义；当 x10，即 x1 时，1x没有意义，所以这个函数的定义域是 x|x1.x（2）因为当 x10，即 x1 时， 有意义；当 x10，即 x1 时，1没有意义，所以这个函数的定义域是x|x1，且 xR .方法引导：求函数的定义域开偶次方其
13、根号里面需非负，分母不为零.2.区间研究函数时常用到区间的概念.（1）区间的概念设 a、b 是两个实数，而且 ab，我们规定：满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为；a，b ；满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a，b） ； 满 足 不 等 式 a x b 或 a x b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 ， 分 别 表 示 为 ； a， b ， （ a， b） .注意：按照国际标准前闭后开区间记作；a，b） ，前开后闭区间记作（a，b.区间符号里面两个字母（或数字）之间用“， ”间隔开.（2）区间的端点和长度区间定义中的实数
14、a 与 b 叫做相应区间的端点，其中 a 叫左端点，b 叫右端点.称 ba为区间长度.注意：区间是集合的又一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法（列举法，描述法） 、不等式表示法和区间表示法.例如大于1 小于 2 的实数的集合可以表示为如下三种形式：x| 1x2 ；1x2；（1，2） ，至于用哪一种形式，可根据习惯或简明的原则来选用.在数轴上，区间可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示， （如下表）在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.定 义 名 称 符 号 数轴表示x|a xb 闭区间 a，b a bxx|a xb 开区间
15、 （a，b） a bxx|a xb 半开半闭区间 a，b） a bxx|a xb 半开半闭区间 （a，b a bx（3）无穷大的概念实数集 R 也可以用区间表示为（ ，+ ） ，其中“”读作“无穷大” ， “”读作“负无穷大” ， “+”读作“正无穷大”.注意：无穷大是一个符号，不是一个数.关 于 用 ， + 作 为 区 间 的 一 端 或 两 端 的 区 间 称 为 无 穷 区 间 ， 它 的 定 义 和 符 号 如下 表 ：定 义 符 号x |x+ （，+ ）x|ax+ a，+ ）x |ax+ （a，+ ）x|x a （，ax|x a （，a）特别说明：区间是集合；区间的左端点必小于右端点
16、；区间中的元素都是点，可以用数字表示；任何区间均可在数轴上表示出来；以“”或“+”为区间的一端时，这一端必须是小括号.三、课堂练习1.反比例函数 y= （k 0）的定义域、对应关系和值域各是什么?请用上面的函数定义x描述这个函数.2.教科书 P22 练习题 1.答案：1.定义域为（，0）（0，+） ，对应关系 f：y= （k0） ，值域为x（，0）（0，+）.对于任意一个非零实数 x， 被唯一确定，所以当 x0 时，y=k（k0）是函数 .x2.（1）因为 4x+70，得 x ，所以，函数 f（x）= 的定义域为47741x R|x .7（2）因为 1x0，且 x+30，得3x 1，所以，函数 f（x）= + 1 的定义域为 xR|3x1，定义域用区间也可表示为3，1.3四、课堂小结1.本节学习的数学知识：（1）函数的概念和函数的定义域、值域等概念；（2）区间与无穷大的概念.2.本节学习的数学方法：观察与归纳的思想方法、定义法、渗透了静与动的辩证唯物主义观点.五、布置作业1.教科书 P28 习题 1.2 A 组第 1 题.2.求下列函数的定义域.（1）f（x）= ；2x（2）f（x）= ；3（3）f（x）= + .1x2板书设计1.2.1 函数的概念（1）函数的概念函数的传统定义函数的近代定义对函数概念的理解例 1例 2区间的有关概念课堂练习课堂小结
