1、弧度制及其应用一、要点梳理1弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1 弧度记做 ，读作弧度。rad2弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0。如果半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，那么，角 的弧度数的rl绝对值是 ，这里， 的正负由角 的终边的旋转方向决定。l3角度与弧度之间的转化（1）将角度化为弧度；0062;18radr。.745（2）将弧度化为角度； ；036rad018rad1 。0/857.注意：“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制度。引进了弧度制，使得每一个角都对应
2、一个实数（即这个角的弧度数） ，反过来每一个实数都对应一个弧度数（角的弧度数等于这个实数） ，从而角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。因此角的几何表示可以在坐标系中以终边位置描述，也可以用数轴上的点描述（即其弧度数对应实数所对应的点） 。3弧长公式和扇形面积公式 （1）在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为。21;2lRSlR（2）在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为。2;18036nl注意：用公式 求圆心角时，应注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值，lr具体应用时，既要注意其大小，又要注意其正负；使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”为单位，则必
3、须先把它化成弧度后再计算，这样可避免计算过程或结果出错。二、范例剖析例 1 将 表示成 ， 的形式，且 。04852kZ02分析：在书写角时， “弧度”两个字常省略不写，但用“角度”表示时， “度”或“ 0”不能省略。解析： ，又 ，00148536150731584 。7评注：要记住 ，如果能记住特殊角 ，可直接写出结果。0rad0例 2 已知 ，且 与 终边相同，求 。027分析：利用终边相同的角先表示出 与 的关系，然后求解。解析：由已知有 ， ，7kZ ， 。62k3 ，当 、2、3、4、5 时， 、 、 、 、 为所求。Z132435评注：在一定的约束条件下，求与角 终边相同的角，一
4、般地，首先将这样的角表示为 的形式，然后在约束条件下确定 值，进而求适合条kZ k件的角。例 3 已知扇形 的圆心角 为 ，半径长为 6。OAB012（1）求 的弧长；（2）求弓形 的面积。分析：将圆心角 用弧度表示，然后利用弧长公式、扇形面积公式、三角形面积公式可得解。解析：（1） ，021,63radR 的弧长为 。AB64l（2） ，122OABS扇 形，2113sin693ABR 。OABOSS弓 形 扇 形评注：记准、记熟弧长公式和扇形面积公式是解决该类问题的关键。三、知能展示1若四边形的四个内角之比分别为 1：3：5：6，则这四个内角的弧度数依次为 ；_2在 1 点 15 分时，时针与分针所成的最小正角是多少弧度？3已知一扇形的圆心角为 ，半径等于 ，求扇形的面积；07220cm4已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇4c形的面积最大？最大面积是多少？5用 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？30cm最大面积是多少？参考答案：1 ， ， ， ； 2523452 ；743 280cm4半径 时，扇形的面积最大，最大值为 ，此时圆心角为1R 210cm。rad5当扇形半径为 ，扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的面积最大，最大52c面积为 。24cm
