1、 必要条件下的归纳转换甲：a 为偶数；乙；a， b为 2 个偶数的集合.甲是乙的必要条件（但不充分）.用必要条件的推理过程，在逻辑上称归纳过程. 相应的，用必要条件的解题转换，在逻辑上称归纳转换.归纳转换，是“特殊到一般“ 的转换，是 “部分到整体“的转换，是 “元素性质“向“集合性质“ 的转换.归纳转换，可用集合运算解释为：命题 p 分别对集合 A 真，对集合 B 真，对集合 C 真，则命题 p 对集合 M = A B C 真.归纳转换对应的方法称归纳法. 常见的归纳法有：（1）不完全归纳. 如用观察法求某数列的一个通项公式.（2）穷举归纳. 如分别就锐角、直角、钝角证明余弦定理.（3）完全
2、归纳. 如用数学归纳法证明自然数集合有某性质.（4）抽象归纳. 如用公式法把数字问题归纳成字母问题.（5）极限归纳. 如用极限的办法把有理数的某性质归纳到实数.【例 1】 已知数列a n的各项都是正数，且满足： N.naan),4(21,0（1）证明 12,;N（2）求数列 的通项公式 an.n【解析】 （1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时， ,23)4(2,100a ，命题正确.02假设 n=k 时有 .1k则 11,(4)(4)22kkaaa时11()()4.2kk而 1 1 10. 0,0.k kkaaa 又 2()().2k 时命题正确.n由 1、2知，对一切 nN 时有
3、.1na【说明】 由数列的的递推式，运用数学归纳法证明，其关键是 n=k+1 时的证明.方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时， ；,23)4(21,00aa210a2假设 n=k 时有 成立，k令 ， 在0，2 上单调递增，所以由假设)4()(xxf(f有： 即,21akk ),24(1)4(21)41 kkkk aa也即当 n=k+1 时 成立，所以对一切 . ,Nn有【说明】 方法二的证明也是数学归纳法，但它另辟新径，运用函数，归纳出它的单调性，推出 n=k+1 时成立.（2）下面来求数列的通项： 所以,4)2(1)4(21nnn aa21)()(nnaa令 b则 nbbbnnn 2
4、012221 11 又 b0=1，所以 112 )(,)( na即【说明】 求 an 的通项公式，借助数列 bn 的层层递推，最后归纳到了题目给的条件 a0 上，从而使问题由递推式转换成了通项公式.【例 2】 设函数 .axf|)(2)0(R且（1） 分别判断当 及 时函数的奇偶性.1（2） 在 的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推0Ra且广后命题的特例，并对推广的结论加以证明.【分析】 （1） （2）两问都要求判断函数的奇偶性，判断函数的奇偶性，可以用定义无法判断，我们可以用特例法.【解析】 （1）当 时， ，a1|)(2xf由 .1,02xx所以 )(2f,)21()(,2
5、1)(,3)21(,53)21( ffffff为非奇非偶函数.xf（如举其他的反例同样给分） 当 时， ，由 ，所以2a2|4)(xf 2,02xx得， ， 为奇函数.xf4)( )()(,()0, ff)(f（2）当 .,0;(0 为 奇 函 数时当为 非 奇 非 偶 函 数时 ， xfaxfa，可以验证：fx2)(,2 得时 ， 由， 为非奇非偶函数.2(),)(,0affaffa对 任 意 的 )(xf（如举其他的反例同样给分） ,0(),)(, 22 axfaxx 得时 ， 由并且 .)()(为 奇 函 数成 立 ，对 定 义 域 中 任 意 的 fff【点评】 本题用特例法归纳出函数
6、的奇偶性.实现了“特殊到一般“ 的转换，是“部分到整体“的转换，是“元素性质 “向“集合性质“的转换. 对应训练1. 如图，在杨辉三角形中，斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列 ：na1，3，3，4，6，5，10，则 a21 的值为( )A66 B220 C78 D2862.已知：在函数 的图象上，以xmf3)(为切点的切线的倾斜角为 ),1(nN4（）求 ， 的值； （）是否存在最小的正整数 ，使得不等式 对于 恒成k193)(kxf 3,1x立？如果存在，请求出最小的正整数 ；如果不存在，请说明理由；（）求证： （ ， ） )2(|)(cos)(sin| tf
7、xff R0t 对应答案1. A 213a547 1921a累加得 62)1(32132 2.解：（） ，依题意，得 ，即 ， .13)(2mxf )1(f4tan13m32 ， . nf1（）令 ，得 . 012)(xf 2x当 时， ；101)(f当 时， ；2x2)(xf当 时， .301)(2f又 ， ， ， .1)(f 3)(f 32)(f 15)(f因此，当 时， . ,x15)(2xf要使得不等式 对于 恒成立，则 .193)(kf 3,2081935k所以，存在最小的正整数 ，使得不等式 对于208)(xf恒成立. 3,1x（）方法一： |)(cos)(sin| xff |)c
8、os32()sini3( xx|)cos(in)cos(sin32|3xx |1)2| 2|31csi3|csi|xx. |oin|31|)4in(2|2又 ， ， .0t1t12t )2(tf )()(33. 1412tt 321综上可得， （ ， ）. )(|)(cos)(sin| tfxff Rx0t方法二：由（）知，函数 在 -1， 上是增函数；在 , 上是减f22函数；在 ，1上是增函数.2又 ， ， ， .31)(f 32)(f 32)(f 31)(f所以，当 x -1，1时， ，即 .)(xf|)(|xf ， -1， 1， ， .sinco32|)(sin|f 32|)(cos|f .|)(|)(i|)(s)(i| xfxffxf又 ， ，且函数 在 上是增函数.0t 12tf,1 . 32)(3)()21( ftf综上可得， （ ， ）.12|cossin| tfxff Rx0t
