1、第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的形成过程, 学会用类比思想学习二次函数知识.2.掌握二次函数的概念.3.认识到二次函数来源于实际生活,感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用.教学重难点重点:二次函数的概念.难点:理解变量之间的对应关系.教学过程与方法知识点:二次函数的概念1.学生自主学习 教材 P28P29问题 1、问题 2(约 5 分钟)2.观察思考与归纳(约 5 分钟)(1)观察 y=6x2、d= n2- n、y=20( 1+x)2这三个函数, 它们有什么共同点?(2)你觉得这样的函数可
2、以叫做什么函数?(3)在学生思考回答后,给出二次函数的定 义:一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数, a0)的函数,叫做二次函数.其中,x 是自变量,a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【版权所有：21 教育】(4)师生一起讨论二次函数有哪几种特殊形式.3.巩固强化与交流(约 5 分钟)(1)教材 P29练习第 12 题.(2)出示例 1:下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?y=1-2x 2y= (x-2)(x+3)- x2y=(a 2+1)x2+bxy= + -1y=y=( )2+2 -1解:是二次函数;其余都不是二次函数.4.合作与探究(约 5
3、 分钟)(1)你对二次函数概念的理解有了哪些新的认识?(2)出示例 2:已知函数 y=(a+1) +(a-2)x.当 a 为何值时,此函数为二次函数?当 a 为何值时,此函数为一次函数?解:a=1.a=0 或 a=-1.5.课堂小结(约 5 分钟)(1)到目前为止,我们学习了哪些函数 ?这些函数之间有什么联系?(2)二次函数的一般表达式是怎样的?对 a、b、c 有什么条件限制 ?(3)谈谈你的收获和困惑.6.独立作业(10 分钟)(1)必做题:习题 22.1 第 1 题.(2)选做题:习题 22.1 第 2 题.(3)备用题:当 k 为何值时,函数 y=(k-1) +2kx-1为二次函数;为一
4、次函数?22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质教学目标1.会用描点法画出二次函数 y=ax2的图象,掌握二次函数 y=ax2的性质.2.经历探索二次函数 y=ax2的图象与性质的过程,能运用二次函数 y=ax2的图象及性质解决简单的实际问题,掌握数形结合的数学思想方法3.通过数学学习活动,体会数学与实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学习兴趣.教学重难点会画二次函数 y=ax2的图象和理解相关概念是本节课的学习重点也是难点;对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点.教学过程与方法知识点一:函数 y=ax2图象的画法1.情境导入(约 3 分钟)导语一:回忆一次函数的图象、反比
5、例函数的图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?导语二:展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例图让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系,从而引入新课.导语三:用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.怎样用数学规律来描述呢?2.自主学习(约 10 分钟)(1)认真阅读教材 P29P30,并操作 (填表与画图).(2)思考:利用描点法画函数图 象有哪些步骤?在第一步“ ”时, 自变量 x 的取值需要注意什么?你怎样体会关键词“列表”、“描点”、“ 连线”、“平滑”?3.交流体会(约 5 分钟) 来源:学优高考网 gkstk二次函数 y=ax2的图象是什么?二次函数
6、 y=ax2+bx+c 的图象叫什么 ?抛物线的对称轴、顶点坐标、最高点、最低点有什么含义?知识点二:y=ax 2的图象与性质4.合作与探究(约 10 分钟) 来源:gkstk.Com(1)画函数 y=-x2,y=- x2,y=-2x2.(2)归纳与总结一般地,抛物线 y=ax2的对称轴是 y 轴 ,顶点是 (0,0) .当 a0 时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点,a 越大,抛物线的开口 越小 , 在对称轴的左侧,y 随 x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而 增大 .当 a0,把抛 物线 y=ax2向 上 平移 k 个单位,可得 y=ax2+k;当 k0
7、时,开口向上,对称轴是 y 轴,顶点(0,k),最小值为 k.a0 时,y 随 x 的增大而减小.二次函数 y=ax2+k(a,k 为常数),当 x 取值 x1、x 2时(x 1x2),函数值相等, 则当 x 取 x1+x2时,函数值为 0 . 函数 y=ax2-a 与 y= (a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第 2 课时 二次函数 y=a(x-h)2的图象和性质教学目标1.会用描点法画二次函数 y=a(x-h)2的图象.2.理解抛物线 y=a(x-h)2与 y=ax2之间的位置关系.3.在图象的平移过程中,渗透变与不变的辩证思想.教学重难点重点:二次函数 y=a(x-h)2
8、的图象和性质 .难点:把握抛物线 y=ax2通过平移后得到 y=a(x-h)2时平移的方向和距离.教学过程与方法1.师生互动,提出问题(3 分钟)(1)抛物线 y=- x2+3 与 y=- x2的位置有什么关系?(2)抛物线 y=- x2+3 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么?2.探究新知(10 分钟)知识点一:y=a(x-h) 2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数 y=- x2、y=- (x+1)2、y=- (x-1)2的图象.列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性?这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?这三条抛物线能否经过相互的平移得到?怎样平移?3.交流探究:教材 P3
9、4P35(5 分钟)4.归纳总结(5 分钟)抛物线 y=a(x-h)2与抛物线 y=ax2的形状相同,只是位置不同,它可以由抛物线 y=ax2平移得到: 当 h0 时,向右平移 h 个单位,当 h0,开口 向上 ,当 x= h 时,函数 y 有最 小 值= 0 ,在对称轴的左侧, y 随 x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而 增大 . 21世纪* 教育网(2)a0 时,y 随 x 的增大而减小.www-2-1-cnjy-com7.课堂小结(3 分钟)(1)抛物线 y=a(x-h)2与 y=ax2的关系.(2)抛物线 y=a(x-h)2的对称轴、顶点.(3)平移规律:“左加右
10、减”.(4)你还有哪些困惑和收获?8.独立作业(11 分钟)(1)必做题:习题 22.1 第 5 题(2).(2)备用题:已知抛物线 y=a(x+h)2的顶点是( -3,0),它是由抛物线 y=-4x2平移得到的, 则 a= -4 ,h= 3 . 21*cnjy*com把抛物线 y=(x+1)2向 右 平移 4 个单位后得到抛物线 y=(x-3)2. 把抛物线 y=x2+mx+n 向左平移 4 个单位,得到抛物线 y=(x-1)2,则 m= -10 , n= 25 .第 3 课时 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质教学目标1.会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)2+k(a、h、
11、k 是常数,a0)的图象,掌握抛物线y=a(x-h)2+k 与 y=ax2的图象之间的关系,熟练掌握函数 y=a(x-h)2+k 的有关性质,并能用函数y=a(x-h)2+k 的性质解决一些实际问题.2.经历探索 y=a(x-h)2+k 的图象及性质的过程,体验 y=a(x-h)2+k 与y=ax2、y=ax 2+k、y=a(x-h) 2之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.3.通过观察函数的图象,归纳函数的性质等活动,感受学习数学的价值.教学重难点重点:二次函数 y=a(x+h)2+k 的性质 .难点:教材 P36例 4 的解答需要选取合适的坐标系,有一定的难度,是本节教
12、学的难点.教学过程与方法1.回顾与思考(3 分钟)我们已经学习了形如 y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数 y=a(x-h)2+k 又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系 ?知识点一:y=a(x-h) 2+k 的图象和性质2.合作与探究:教材 P35例 3(15 分钟)(1)在同一坐标系内,画出二次函数 y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1 的图象.处理方法:师生一起完成列表,再由学生画出图象,如图.(2)指出 y=- (x+1)2-1 的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性.(3)y=- (x+
13、1)2-1 可以由 y=- x2怎样平移而得到?(4)归纳:y=a(x-h )2+k 的图象和性质及由 y=ax2平移得到函数图象的规律.知识点二:y=a(x-h) 2+k 的实际运用3.解决问题,交流思想(16 分钟)(1)读懂教材 P36例 4 题意.(2)怎样建立平面直角坐标系?(3)怎样才能与二次函数联系起来?4.课堂练习:教材 P37练习(3 分钟)5.课堂小结(4 分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容?引导学生从以下几个方面去回顾:二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质;抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2的平移关系;选取坐标系的方法.(2)谈一谈你的收获或困惑.6.独
14、立作业(10 分钟)(1)必做题:习题 22.1 第 5 题(3),第 7 题(1).(2)备用题:已知 y=a(x-h)2+k 是由抛物线 y=- x2向上平移 2 个单位长度, 再向右平移 1 个单位长度得到的抛物线.21 世纪教育网版权所有求出 a、h、k 的值;在同一坐标系中,画出 y=a(x-h)2+k 与 y=- x2的图象;观察 y=a(x-h)2+k 的图象,当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大; 当 x 取何值时,y 随 x 的增大而减小,并求出函数的最值;21 教育网观察 y=a(x-h)2+k 的图象,你能说出对于一切 x 的值,函数 y 的取值范围吗?解:a=-
15、,h=1,k=2 图略 当 x1 时, y 随 x 的增大而减小;当 x=1 时,函数有最大值 2 对于一切 x 的值 y2.【来源：21世纪教育网】22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质第 1 课时 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质教学目标1.会用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象;会用配方法将二次函数 y=ax2+bx+c的解析式写成 y=a(x-h)2+k 的形式;通过图象能熟练地掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的性质.2.经历探索 y=ax2+bx+c 与 y=a(x-h)2+k 的图象及性质紧密联系的过程, 能运用二次
16、函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.3.通过合作交流,激发学习数学的兴趣,感受数学的价值.教学重难点重点:用描点法画出二次函数的图象,并指出该图象的基本性质.难点:通过对二次函数 y=ax2+bx+c 上的一些点的分析得出关于 a、b、c 的不等式.教学过程与方法知识点:y=ax 2+bx+c 的图象和性质1.提出问题(3 分钟)你能作出 y= x2-6x+21 的图象吗?2.自主学习:教材 P37P39(9 分钟)3.交流方法(2 分钟)4.归纳总结(4 分钟)一般地,我们可以用配方法求抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对称轴 .y=ax2+
17、bx+c=a(x+ )2+,因此,抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=- ,顶点坐标是( - ,). 21*cnjy*com开口方向、最值、增减性怎样?5.课堂练习:P 39练习(3 分钟)6.课堂小结(5 分钟)(1)求二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴和顶点坐标通常有几种方法? 配方时应注意什么?公式是怎样的?【来源：21cnj*y.co*m】(2)指出 y=ax2+bx+c 的开口方向、顶点坐标.7.独立作业(15 分钟)(1)必做题:习题 22.1 第 6 题(1)( 3).(2)选做题:习题 22.1 第 6 题(2)( 4).(3)备用题:用配方法将二次函数 y=x
18、2-6x+21 化成 y=a(x-h)2+k 的形式.解:y=(x-3) 2+12某学生推铅球,铅球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 y=-x2+ x+ ,则铅球落地的水平距离为 5 m. 21 教育名师原创作品第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式教学目标来源:gkstk.Com1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.2.经历探索由已知条件的特点,灵活选择二次函数三种形式的过程, 明确正确选择二次函数设法能使计算简化和三种形式是可以互相转化的.3.通过亲自体验,感受学习数学的乐趣.教学重难点重点:用待定系数法求二次函数的解析式.难点:灵活选择合适的表达式
19、设法,使求解达到简便、快捷的效果.教学过程与方法1.回顾与思考(3 分钟)(1)二次函数有哪些形式?y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2)(2)要求二次函数的解析式,你打算怎么办 ?知识点:用待定系数法求二次函数的解析式2.出示例题,学会合作解决(20 分钟)【例 1】 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表:x -1-0 1 y -2-2-0 则该二次函数的解析式为 y=x 2+x-2 . 【例 2】已知二次函数图象的顶点是(1,-3),且经过点 M(2,0
20、),这个函数的解析式为 y=3x2-6x . 【 出处：21 教育名师】来源:学优高考网【例 3】已知二次函数的图象如图所示,此抛物线的解析式为 y=-x 2+2x+3 . 【例 4】已知一抛物线与 x 轴的交点是 A(-1,0),B(m,0),且经过第四象限的点 C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,此抛物线的解析式为 y=x 2-2x-3 . 3.学生交流、归纳(5 分钟)求解二次函数的解析式所设置的表达式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c.(2)顶点式:y=a( x-h)2+k.(3)交点式(两根式 ):y=a(x-x1)(x-x2).(4)y=ax2,y=ax2+c,y=a(
21、x-h)2等特殊形式.4.课堂练习(5 分钟)根据下列条件,求二次函数解析式.(1)抛物线经过( -1,11),(2,8)和(0,6)三点.(2)抛物线的顶点坐标为( 3,-1),且经过点(2,3).(3)抛物线的对称轴为直线 x=2,且经过点( 1,4)和(5,0).(4)抛物线经过( -1,0),(3,0)和(0,2)三点.解:(1)y=2x 2-3x+6(2)y=4(x-3)2-1(3)y=- (x-2)2+4(4)y=- (x+1)(x-3)5.质疑视导(2 分钟)师生一起分析有哪些收获或困惑.6.拓展性练习(15 分钟)(1)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为( 3,-2),且与 x 轴两交点间的距离为 4,则抛物线的解析式为 y= (x-3)2-2 . 2-1-c-n-j-y(2)老师出示了小黑板上的题后( 如下框).已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于(1,0),试添加一个条件, 使它的对称轴为直线 x=2.小华说:过点(3,0); 小彬说:过点(4,3),小明说:a=1,小颖说:抛物线被 x 轴截得的线段长为 2,你认为四个人的说法中,正确的有( D )A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个
