1、两条直线的位置关系一、一周知识概述本周主要学习两条直线的位置关系，首先结合行列式判断两条直线相交、平行与重合的条件；其次学习了两条直线的夹角公式以及两条直线垂直的条件；最后学习了点到直线的距离公式二、重难点知识归纳1、两条直线的相交、平行与重合设两条直线方程 l1：a 1xb 1yc 1=0，l 2：a 2xb 2yc 2=0.令 .（1）当 D0 时，两直线相交，交点坐标是 .（2）当 D=0 时，分两种情况：当 Dx0 或 Dy0 时，两直线平行.当 Dx=Dy=0 时，两直线重合.2、两条直线的夹角规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.已知两条相交直线方程为 l1：a 1
2、xb 1yc 1=0(a1、b 1 不同时为零)，l2：a 2xb 2yc 2=0（a 2、b 2 不同时为零）.则两条直线的夹角公式为 .若两条直线 l1 与 l2 相互垂直，其斜率为 k1，k 2，则有 k1k2=1.3、点到直线的距离对于任意一点 ，直线 l:axbyc=0(1)若直线 l 平行于 x 轴，即 a=0，此时直线方程为 点 P 到直线 l 的距离 (2)若直线 l 垂直于 x 轴，即 b=0，此时直线方程为 点 P 到直线 l 的距离 .(3)若直线 l 既不垂直于 x 轴，又不平行于 x 轴点 P 到直线 l 的距离 三、典型例题剖析例 1、求经过两直线 l1:x2y4=
3、0 和 l2：xy2=0 的交点 P，并且与直线l3:3x4y5=0 垂直的直线 l 的方程分析：本题可先通过解方程组求出点 P 的坐标，再利用 ，求得直线 l 的斜率，最后利用点斜式求出 l 的方程，也可用直线系方程求解解法 1：解方程组 ，因为 .则方程组的解是 .得交点 P(0,2)，且 ， 由点斜式得直线 l 的方程为 4x3y6=0解法 2：设所求直线 l 的方程为(x2y4) (xy2)=0，整理得(1)x( 2)y 42=0 (1)3(2)(4)=0，得 =11故所求直线 l 的方程为 4x3y6=0例 2、已知直线 l:(a1)xya1=0 及定点 A(3,4)，a 为何值时，
4、点 A 到 l 的距离最大？解析：将直线 l 的方程化为(a1)x a 1= y2即 y2=(1a)(x 1) 直线 l 恒过定点 P(1,2)，当且仅当 时，点 A 到 l 的距离最大又 ，故 ， 即 1a= , .故当 时，点 A 到 l 的距离最大规律总结：对于点到直线的距离最值问题可用点到直线的距离公式化为函数问题求最值，或利用几何性质，数形结合处理例 3、在ABC 中 A（3，4），B （6，0），C（5， 2），求BAC 的平分线 AT所在直线的方程.解析：可求得直线 AC 方程为 3x4y7=0，直线 AB 方程为 4x3y24=0，又根据点斜式可设直线 AT 方程为 y4=k(
5、x3)，即 kxy3k4=0.CAT=TAB，直线 AC 与 AT，直线 AT 与 AB 的夹角相等.根据两条直线间的夹角公式，有 .解得 k=7 或 （由图知应舍去），AT 的方程为 7xy17=0.例 4、分别过 A(6,2)、B( 3,1)两点的两条直线相平行，并且各自绕着 AB 旋转，如果两平行线间距离为 d(1)求距离 d 的取值范围；(2)求当 d 取最大值时两条直线的方程解析：（1）设两平行线的斜率为 k，则两直线方程分别为 y2=k(x6)，y1=k(x3)，即 kxy6k2=0，kxy 3k1=0 ，整理得 若 d=9，则 ；若 ， k R， ， 当直线斜率不存在时，两直线分
6、别为 x=6，x= 3 ，此时 d=9综合得 .（2） ，此时 此时两直线分别为 3xy20=0，3xy10=0 例 5、已知 P(2,3)和直线 l:xy1=0求(1)点 P 关于直线 l 的对称点；(2)若一束光线由 P 点射到 l 上，反射后经过点 Q(1,1)，求入射光线及反射光线的方程解析：(1)设对称点 坐标为（x，y） P 点和 点关于直线 l 对称，则 且 的中点在 l 上， ，即 xy7=0 又 ，则 解可得 x=4,y= 3点的坐标是( 4,3) (2)由光线最短原理知， 连线即为反射线，可得 ，则有 ，故反射线方程为 ，即4x5y1=0 设反射线与 l 的交点 M（x,y），则有 ，解得 所以入射点 PM 连线为入射线，同理可求得 PM 方程为 5x4y2=0 故入射光线方程为 5x4y2=0，反射光线方程为 4x5y1=0
