1、教学设计33 几个三角恒等式整 体 设 计教学分析 本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用从运算的角度提出问题，还可
2、以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式在推导出了公式 sinsin2sin cos 以后，可以让学生推导其余的和差化积 2 2及积化和差公式本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞” 高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了三维目标 1通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学
3、思想，提高学生的推理能力体会三角恒等变换在数学中的应用2通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心重点难点 教学重点：推导积化和差、和差化积公式教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力课时安排 1 课时教 学 过 程导入新课 思路 1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinsin ，sinsin，cos cos，c
4、oscos 的形式，那么，我们能否运用角 、 的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题思路 2.(类比导入)我们知道 logamlog anlog a(mn)，那么 sinsin 等于什么呢？推进新课 Error!和差化积公式的推导、万能公式的应用在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如logam logan loga(mn)同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如sinsin ？观察和角公式sin()sincos cossin，sin()sincos cossin，容易得到sin()sin()2sincos.由此，有sincos s
5、in()sin() 12的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sinsin ？这个问题了令 ，代入得sinsin 2sin cos ， 2 2从而有 sinsin2sin cos . 2 2为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含 sincos 呢？想到 sin()sincos cossin.从方程角度看这个等式，sincos， cossin 分别看成两个未知数二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含 sincos 的公式，列出 sin()sincoscossin 后，解相应地
6、以 sincos，cossin 为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别只需做个变换，令 ，则 ， ，代入式即得式 2 2证明：(1)因为 sin()sincoscossin，sin() sincoscossin ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin()sin()2sincos，即 sincos sin()sin() 12(2)由(1)可得 sin()sin()2sincos. 设 ，那么 ， . 2 2把 、 的值代入，即得 sinsin2sin cos . 2 2类似的还
7、能得到sinsin 2cos sin ， 2 2coscos 2cos cos ， 2 2coscos 2sin sin . 2 2以上四个公式我们称其为和差化积公式教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把 看作 ， 看作 ，从而把包含 ， 的三角函数式变换成 ， 的三角函数式另外，把 sincos 看作 x，cossin 看作 y，把等式看作x，y 的方程，通过解方程求得 x，这就是方程思想的体现利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题设 tan t.2(1)求证：sin ，cos ，tan
8、；2t1 t2 1 t21 t2 2t1 t2(2)当 t2 时，利用以上结果求 3cos2 2sin sin 2 的值2 2(1)证明：由二倍角公式，得sin2sin cos ，2 22sin2cos2cos22 sin222tan21 tan22 2t1 t2tan .2tan21 tan22 2t1 t2再由同角三角函数间的关系，得cos .sintan2t1 t22t1 t2 1 t21 t2(2)解：3cos 2 2sin sin 2 2cos 2 12sin2cos2sin2 2 22 1 t21 t2 4t1 t2 .3 t2 4t1 t2 15公式称为万能代换公式，利用万能代换
9、公式，可以用 tan 的有理式统一表示 角的2任何三角函数值图 1 中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式图 1Error!思路 1例 1 已知 sinxcosx ，求 sin3xcos 3x 的值12活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解由于(ab)3a 33a 2b3ab 2b 3a 3b 33ab(ab)，a 3b 3(ab) 33ab(ab)解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于 sinxcosx 与 sinxcosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想本题也可直接应用上述公式求解，即sin3xcos 3x(sinxcosx)
10、33sinxcosx(sinxcosx) .此方法往往适用于 sin3xcos3x 的化1116简问题解：由 sinxcosx ，得(sinxcosx) 2 ，12 14即 12sinxcosx ，sinxcosx .14 38sin 3xcos 3x(sinxcosx)(sin 2xsinxcosxcos 2x) (1 ) .12 38 1116点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练已知 sincos ，且 ，则 cos2 的值是_ 15 2 34答案：725例 2 已知 1，求证： 1.cos4Acos2B sin4Asin2B cos4Bcos
11、2A sin4Bsin2A活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将 A、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有 A、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类从结构上看，已知条件是 a2b 21 的形式，可利用三角代换证法一： 1 ，cos 4Asin2Bsin 4Acos2Bsin 2Bcos2B.cos4Acos2B sin4Asin2Bcos 4A(1cos 2B)sin 4Acos2B(1cos 2B)cos2B，即 cos4Acos 2B(cos4Asin 4A)cos 2Bcos 4B.cos 4A2cos 2
12、Acos2Bcos 4B0.(cos 2Acos 2B)20.cos 2Acos 2B.sin 2Asin 2B. cos 2Bsin 2B1.cos4Bcos2A sin4Bsin2A证法二：令 cos， sin，cos2AcosB sin2AsinB则 cos2AcosBcos，sin 2AsinBsin.两式相加得 1cosBcossinBsin，即 cos(B)1.B2k(kZ)，即 B2k (kZ )coscosB，sinsinB.cos 2AcosBcoscos 2B，sin 2AsinBsinsin 2B. cos 2Bsin 2B1.cos4Bcos2A sin4Bsin2A
13、cos4Bcos2B sin4Bsin2B点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元思路 2例题 证明 tan( )1 sinxcosx 4 x2活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：左边右边；右边左边；左边中间条件右边教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导注意式子左边包含的角为 x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角 ，三角函x2数的种类为正切证法一：从右边入手，切化弦，得tan( ) ，由左右两边的角之间的关系，4 x2sin4 x2cos4 x2sin4cosx2 cos4sinx2cos4cosx2 s
14、in4sinx2cosx2 sinx2cosx2 sinx2想到分子分母同乘以 cos sin ，得x2 x2 .cosx2 sinx22cosx2 sinx2cosx2 sinx2 1 sinxcosx证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 .1 sinxcosxcosx2 sinx22cosx2 sinx2cosx2 sinx2cosx2 sinx2cosx2 sinx2由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以 cos ，得x2 tan( )1 tanx21 tanx2tan4 tanx21 tan4tanx2 4 x2点评：本题考查的是半角公式的灵活
15、运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练求证： .1 sin4 cos42tan 1 sin4 cos41 tan2分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于 1 sin4 cos41 sin4 cos4，此式右边就是 tan2.2tan1 tan2证明：原等式等价于 tan2.1 sin4 cos41 sin4 cos4而上式左边 sin4 1 cos4sin4 1 cos4 2sin2cos2 2sin222sin2cos2 2cos22tan2 右边上式成立，即原等式得证.2sin2cos2 sin22cos2sin2 cos2Error!1若 sin ， 在第二象限，则
16、tan 的值为( )513 2A5 B5C. D15 152设 56，cos a，则 sin 等于( )2 4A. B.1 a2 1 a2C D1 a2 1 a23已知 sin ，3 ，则 tan _.35 72 2答案：1A 2.D 3.3Error!1先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明2教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段Error!课本复习题 9、10.设 计 感 想1本节主要学习了怎样推导半
17、角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想， “1”的代换，逆用公式等2在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用备 课 资 料一、1.一道给值求角类问题错解点击解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角解答此
18、类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解例题：若 sin ，sin ，、 均为锐角，求 的值55 1010错解： 为锐角，cos .1 sin2255又 为锐角，cos .1 sin231010sin()sincos cossin .22， 均为锐角，0180. 45或 135.点评：上述解法欠严密，仅由 sin() ，0180而得到 45 或 13522是正确的但题设中 sin ，sin ，使得 060，故上述结论是错误55 12 1010 12的事实上，由 0180 ，应选择求 cos() (余弦函数在此范围内是单调的) ，
19、22易求得 cos( ) ，则 45，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步22是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值( 要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值2如何进行三角恒等变式的证明三角恒等式证明的基本方法：师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子( 或已知条件)(5)可用拼凑法，即针对题设与
20、结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同(6)可采用比较法，即“ 1”或“左边右边0” 左 边右 边证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化二、备用习题1已知 tanx3，则 sin2x_，cos2x _.2已知 tan 2，则 cos2 等于( )A B 13 13C D35 353下列各式化成和差的形式分别是：(1)sin( 2x)cos( 2x)；3 3(2)cos sin . 2 24设 、k (kZ)，且 cos2sin 20.求证：tan 22tan 21.25已知ABC 的三个内角 A、B 、C 满足 AC2B，且 ，试求1cosA 1cosC 2cosBcos 的值A C26不查表求值： tan6tan42tan66tan78.参考答案：1 2.C35 453(1) sin4x；(2) (sinsin). 34 12 124证明：cos2sin 20,
