1、第 20 讲 等腰三角形一、知识梳理等腰三角形的概念与性质定义 有_相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴 定理 1 等腰三角形的两个底角相等(简称为：_)性质 来源:学优高考网gkstk定理 2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的_和底边上的高互相重合，简称“三线合一” (1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 拓展
2、(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：_) (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形 拓展 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形 等边三角形定义 三边相等的三角形是等边三角形 等边三角形的各角都_，并且每一个角都等于_ 性质 等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 (2)有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 线段的垂直平分线定义
3、 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_ 判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_上实质构成 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点_的所有点的集合 二、题型、技巧归纳考点 1 等腰三角形的性质的运用例 1 如图在四边形 ABCD 中， ADBC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点F，点 G 在边 BC 上，且GDFADF. (1)求证：ADEBFE；(2)连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系， 并说明理由技巧归纳：(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换
4、(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换考点 2 等腰三角形判定例 2、已知：如图锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OBOC.(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)判断点 O 是否在BAC 的平分线上，并说明理由 技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1) 通过等角对等边得两边相等；(2) 通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等考点 3 等腰三角形的多解问题例 3 已知等腰ABC 中，ADBC 于点 D，且 AD0.5 BC，则ABC 底角的度数为( )A45 B75C 45或 75
5、D60 技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况考点 4 等边三角形的判定与性质例 4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D在 CB 的延长线上，且 EDEC，如图试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 204，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB(填“”“”“”或“”)理由如下
6、：如图20 4，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 EDEC.若ABC 的边长为1， AE 2，求 CD 的长(请你直接写出结果 )技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于 60的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等三、随堂检测1.如图，已知ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE ，则E= 度.2.如图，将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得ACD
7、，BC 的中点 E 的对应点为 F，则EAF 的度数是 .3.如图，在ABC 中，AB=AC ， A=120，BC=6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为 ( )A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm4.如图，等腰ABC 中，AB=AC，DBC=15 ，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则A 的度数是 .5.如图，ABC 中，C=90，A=30.(1)用尺规作图作 AB 边上的中垂线 DE，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
8、(2)连接 BD，求证：BD 平分CBA.参考答案例 1、解： (1)证明：AD BC，ADE BFE，DAEFBE.E 是 AB 的中点，AEBE.ADE BFE.(2)EG 与 DF 的位置关系是 EGDF.GDFADF ，又ADE BFE ，GDFBFE，GDGF.由(1)得，DEEF ，EGDF.例 2、解：(1) 证明：OBOC，OBC OCB.BD、 CE 是两条高，BDCCEB90.又BCCB ， BDCCEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC 是等腰三角形(2)点 O 是在BAC 的平分线上 连接 AO. BDCCEB，DCEB. OBOC， ODOE. 又BDC C
9、EB90，AOAO， ADOAEO(HL) DAOEAO. 点 O 是在BAC 的平分线上例 3、如图(1)：AB AC，ADBC，BDCD BC，ADB90.12AD BC，ADBD，B45，12即此时ABC 底角的度数为 45；如图(2)，AC BC ，ADBC，ADC90.AD BC，AD AC，C30.12 12CABB 75，180 A2即此时ABC 底角的度数为 75.综上，ABC 底角的度数 为 45或 75.故选 C.例 4、 （1 ）=（2 ） =方法一：等边三角形 ABC 中，ABC ACBBAC60，AB BCAC.EFBC，AEFAFE60BAC ，AEF 是等边三角形
10、，AEAFEF，AB AEAC AF，即 BECF.又ABC EDBBED60，ACB ECBFCE60 ，且 ED EC，EDBECB，BED FCE.又DBE EFC120，DBEEFC，DB EF，AEBD.方法二：在等边三角形 ABC 中，ABC ACB60，ABD120.ABC EDBBED，ACBECBACE ，EDEC，EDBECB，BEDACE.FEBC，AEFAFE60BAC ，AEF 是正三角形，EFC180 ACB120ABD.EFCDBE，DB EF，而由AEF 是正三角形可得 EFAE.AEDB.（3 ） 3)1 或 3.随堂检测1、 【 解析】ABC 是等边三角形，
11、ACB=60，ACD=120. CG=CD，CDG=30，FDE=150.DF=DE，E=15. 答案：152、 【 解析】ABC 是等边三角形，E 是 BC 的中点，CAE=30.根据旋转的性质，知CAE=DAF=30，CAF=30，EAF=60. 答案：603【解析】选 C.连接 MA，NA.AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，BM=AM，CN=AN，MAB=B ，CAN=C. BAC=120，AB=AC，B=C=30，BAM+CAN=60 ，AMN=ANM=60，AMN 是等边三角形，AM=AN=MN ，BM=MN=NC，MN= BC=2cm.4、 【 解析】MN 是 AB 的垂直平分线，AD=BD， A=ABD，DBC=15，ABC= A+15，AB=AC ，C=ABC=A+15，A+A+15+A+15=180，解得A=50. 答案：505、 【 解析】(1)如图所示，DE 就是要求作的 AB 边上的垂直平分线.(2)DE 是 AB 边上的垂直平分线，A=30AD=BD，ABD= A=30.C=90，ABC=90-A=90-30=60.CBD=ABC-ABD=60-30=30.ABD= CBD，即 BD 平分 CBA.
