1、一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点分别为，离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得 ，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（）设直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得 。设 x 轴上的定点为 ，可得，由定值可得需满足 ，解得 可得定点坐标。解得 。椭圆的标准方程为 .（）证明：由题意设直线的方程为 ，由 消去
2、 y 整理得 ，设 ， ，要使其为定值，需满足 ，解得 .故定点 的坐标为 .点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为 k的直线 l经过点 1,0与抛物线 2:Cypx（ 0,为常数）交于不同的两点 ,MN，当 12时，弦 MN的长为 45.（1）求抛物线 的标准方程；（2）过点 M的直线交抛物线于另一点 Q，且直线
3、经过点 ,B，判断直线 Q是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】 （1） 24yx;（2）直线 N过定点 1,4【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设 2221,MtNtQt，则 12MNkt，则 11:0Nxtyt；同理： 22Q11:2xtyt.由 ,0在直线 MN上 1t（1） ；由 1,在直线 Q上 20tt将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 方程 124xyt，即可得出直线 NQ过定点（2）设 2221,MtNtQt，则 12=MNtkt，则 21:ytxt即 110tyt；同理： 22: 0Qtyt；11:2N
4、xt.由 ,0在直线 MN上 1t，即 1t（1） ；由 1,在直线 MQ上 20tt将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 N方程 124xyt，易得直线 NQ过定点 ,43 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 2:0Cymx过点1,， P是 C上一点，斜率为 的直线 l交 C于不同两点 ,AB（ l不过 P点） ，且 AB的重心的纵坐标为 23.（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线 ,PAB的斜率分别为 12,k，求 12k的值.【答案】 （1）方程为 24yx;其焦点坐标为 ,0（2） 120【解析】试题分析;（1）将 ,
5、代入 2ymx，得 4，可得抛物线 C的方程及其焦点坐标；（2）设直线 l的方程为 yxb，将它代入 得 220bx（ ） ，利用韦达定理，结合斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 3，化简可 12k 的值；因为 PAB的重心的纵坐标为 23，所以 12py，所以 py，所以 1px，所以 1211212 yxkx ，又 1221yxyx21bbx121xx0.所以 120k.4已知椭圆2:1(0)xyCab的短轴端点到右焦点 10F， 的距离为 2（）求椭圆 的方程；（）过点 F的直线交椭圆 于 AB， 两点，交直线 4lx： 于点 P，若 1AF，2PB，求证： 12为定值【答案】(1) 2
6、43xy;(2)详见解析.【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（）由题意直线 AB过点 1,0F，且斜率存在，设方程为 1ykx,将 4x代人得 P点坐标为 43k， 由2 143yk，消元得 228410xk，设 1,Axy， 2,Bxy，则 0且2122834 kx， 方法一：因为 1PF，所以 11PAxF. 同理 224Bx，且 1x与 24异号， 所以 1212 123xx123x 2286434kk0. 所以， 12为定值 .当 12x时，同理可得 12
7、0. 所以， 为定值 0.同理 223PBmyF，且 1y与 23my异号， 所以 121212y 3609m. 又当直线 AB与 x轴重合时， 12， 所以， 12为定值 0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线 AB过点 1,0F，在设方程时，往往设为1xmy0，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线 C： 24yx， F为 C的焦点，过 F的直线 l与 C相交于 ,AB两点.（1）设 的斜率为 1，求 ；（2）求证： O是一个定值.【答案】(1) 8AB（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线 l的方程为 1xky，由 21 4xky得 240 12， 12y,OAxBx， 121212yky，
