1、课堂导学三点剖析一、求函数的导数【例 1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=( -2)2;(3)y=x-sin cos ;(4)y=3x2+xcosx;(5)y=tanx;(6)y=exlnx;(7)y=lgx- .21解析：(1)方法一：y=(2x 2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.方法二：y=(2x 2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=( -2)2=x-4 +4,y=x-(4 )+4=1-4 =1-2 .212
2、1x(3)y=x-sin cos =x- sinx,2y=x-( sinx)=1- cosx.1(4)y=(3x2+xcosx)=6x+cosx-xsinx;(5)y=( )=cosin;cos1csin22(6)y= +exlnx;(7)y= .210ln3二、求直线方程【例 2】 2004 全国高考卷，文 19 已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在 P(1，0) 处的切线，l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1l2.()求直线 l2 的方程；()求由直线 l1、l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积.解：() y=2x+1.直线 l1 的方程为： y=3x-3.设直线 l2 过曲线
3、 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2),则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2.因为 l1l2,则有 2b+1=- ,b=- .3所以直线 l2 的方程为 y=- x- .19()解方程组 .25,61.931,yxyx所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为( ),6l1、l 2 与 x 轴交点的坐标分别为(1，0) 、( ，0).3所以所求三角形的面积 S= .125|21温馨提示要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点 P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.三、利用导数求函数解
4、析式【例 3】 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1，1) ，且在点 Q(2，-1)处与直线 y=x-3 相切，求实数 a、b、c 的值.思路分析：解决问题的关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来.题中涉及三个未知数，题设中有三个独立条件，因此，通过解方程组来确定参数 a、b、c 的值是可行的途径.解： 曲线 y=ax2+bx+c 过 P(1，1)点，a+b+c=1.y=2ax+b,y x=2=4a+b.4a+b=1.又曲线过 Q(2，-1)点， 4a+2b+c=-1.联立解得 a=3,b=-11,c=9.温馨提示用导数求曲线的切线方程或求曲线方程，常依据的条件是(
5、1)切点既在切线上，又在曲线上；(2)过曲线上某点的切线的斜率，等于曲线的函数解析式在该点的导数.各个击破类题演练 1求下列函数的导数(1)y=x6 (2)y= (3) y= (4) y=4321xx解：(1)y=(x 6)=6x6-1=6x5;(2)y= ;43)(1( 714343 (3)y=(x-2)=-2x-3;(4)y=( )=( )=x21.1x变式提升 1求下列函数的导数：(1)y=(x+1)(x+2)(x+3) (2) y= 1解：(1)解法一：y=(x +1)(x+2)(x+3)+(x +1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x +1)(x+2)(x+3)+(x+
6、1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11解法二：y=x 3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.(2)解法一：y= )1(.)1(2)1()(2xx解法二：y=1- ,y=(1- )=(- )1x2)()x2)1(x类题演练 2求过曲线 y=cosx 上点 P( , )且与过这点的切线垂直的直线方程.32解： y=cosx,y=-sinx.曲线在点 P( , )处的切线斜率是1.23sin|3xy过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 .2所求的直线方程为 y- = ,21)3(x即 2x-
7、y-3.0变式提升 2求曲线 y=2x2-1 的斜率等于 4 的切线方程.解：设切点为 P(x0,y0)，则y=(2x2-1)=4x, =4,即 4x0=4,x0=10|当 x0=1 时，y 0=1,故切点 P 的坐标为(1，1)所求切线方程为 y-1=4(x-1)即 4x-y-3=0.类题演练 3已知 y=f(x)是一个一元三次函数，若 f(-3)=2,f(3)=6 且 f(-3)=f(3)=0，求此函数的解析式.解：设 f(x)=ax3+bx2+cx+d,则 f(x)=3ax2+2bx+c,依题意有： .4,1027.0627,39.0)3(,6 dcbacbaff即 f(x)=- x3+x+4.1变式提升 3已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2，0)，且在点 P 处有公共切线，求 f(x)，g(x)的表达式：解析：由已知 02ba即 04 8ca又 f(x)=6x2+a,g(x)=2bx 且 f(2)=g(2)622+a=2b2 由的 1648cf(x)=2x3-8xg(x)=4x2-16
