1、课时训练 6 数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列 an0. 数列a n是递增数列.2.在数列a n中,若 an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为 . 答案:29解析:a n=-(n-6)2+29,所以当 n=6 时,a n 最大,解得 a6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若 a1=1,an+1= ,则给出的数列a n的第 7 项是( )A. B. C. D.答案:C解析:由数列的首项和递推公式可以求出 a2= ,a3= ,观察得到通项公式 an= ,所以 a7= .4.在数列a n中,a 1=-2,an+1= ,则 a2 012=( )A.-2 B.- C.-
2、 D.3答案:D解析: a1=-2,an+1= , a2=- ,a3= ,a4=3,a5=-2. 该数列是周期数列,周期 T=4.又 2 012=5034, a2 012=a4=3.5.已知数列a n,a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n3), 则 a5= .答案:8解析:由题知 a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5, a5=a4+a3=8.6.已知数列a n满足 a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN *,则 a2 013= ;a2 014= . 答案:1 0解析:a 2 013=a5044-3=1,a2 014=2a1 007=2a4252-1=0.7.数列a
3、 n满足 an+1= ,a8=2,则 a1= . 答案:解析:a 8= =2, a7= .又 a7= , a6=-1.又 a6= , a5=2.以此下去,可推出 a1= .三、由递推关系求通项公式8.已知数列a n中,a 1=1,an=an-1+1(n2), 则通项公式为( )A.an=1 B.an=2n-1C.an=n D.an=n+1答案:C解析:由 an=an-1+1 知 an-an-1=1, 数列的相邻两项中后项比前项大 1. 通项公式为 an=n.9.已知数列a n中,a 1=1,an+1=2an+1,则数列a n的通项公式为( )A.an=2n-1 B.an=2n-1C.an= D
4、.an=1+答案:A解析:方法一:由已知 a1=1=21-1,a2=21+1=3=22-1,a3=23+1=7=23-1,由此归纳得 an=2n-1.方法二: an+1+1=2(an+1), =2,用累乘法可得 an+1=2n. an=2n-1.10.(2015 温州高二检测)已知数列a n,a1=1,以后各项由 an=an-1+ (n2) 给出.(1)写出数列a n的前 5 项;(2)求数列a n的通项公式.解:(1)a 1=1;a2=a1+ ;a3=a2+ ;a4=a3+ ;a5=a4+ .(2)由已知得 an-an-1= , a2-a1=1- ,a3-a2= ,a4-a3= ,an-an
5、-1= .左右分别累加得 an-a1=1- ,所以 an=a1+1- =2- .(建议用时:30 分钟 )1.已知数列a n,a1=1,an-an-1=n-1(n2).则 a6 等于( )A.7 B.11 C.16 D.17答案:C解析:由题可知 a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.2.已知数列a n中,a 1=2,an=- (n2), 则 a2 015 等于( )A.- B. C.2 D.-2答案:C解析: an+2=- =an, 数列奇数项相同,偶数项相同. a2 015=a1=2.3.数列a n中,a
6、1=1,对所有的 n2,都有 a1a2a3an=n2,则 a3+a5 等于( )A. B. C. D.答案:C解析:由已知得 a3= a5= , a3+a5= .4.已知数列a n的通项公式为 an= ,则数列a n( )A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项答案:C解析:数列a n的通项公式为 an= ,令 t= (0an 对 nN *恒成立. an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+, 2n+1+0 对 nN *恒成立,即 -2n-1 对 nN *恒成立,又当 nN *时-2n-1- 3, -3.10.设数列a n,a1=0,an+1= ,写出数列的前 4 项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a 1=0,a2= ,a3= ,a4= .直接观察可以发现 a3= 可写成 a3= ,这样可知 an= (nN *,n2) .当 n=1 时, =0=a1,所以 an= .
