1、1第篇 高考专题讲练 方法篇角度一 特值(例)排除法特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等,针对各选项进行代入对照,结合排除法,从而得到正确的答案 .(1)使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化情况也一定成立 .(2)使用技巧:找到满足条件的合适的特殊化例子,或举反例排除,有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论 .(3)常见问题:求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等 .而对于函数图像的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题,常通
2、过排除法解决 .示例 解法关键2018全国卷 函数 y=-x4+x2+2 的图像大致为( )图 F1-1当 x=0 时, y=2,排除 A,B;当 x=0.5 时,x2x4,所以此时 y2,排除 C.故选 D2018全国卷 图 F1-2 来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 . 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC. ABC 的三边所围成的区域记为 ,黑色部分记为 ,其余部分记为 . 在整个图形中随机取一点,此点取自 , , 的概率分别记为 p1,p2,p3,则( )图 F1-2A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p
3、2+p3不妨设三角形 ABC为等腰直角三角形,则易得区域 , 的面积相等 .答案:A2016全国卷 函数 y=Asin(x+ )的部分图像如图 F1-3 所示,则 ( ) 令 x=0 和 x= ,验证 3可得结果 .答案:A2图 F1-3A.y=2sin 2x- 6B.y=2sin 2x- 3C.y=2sin x+ 6D.y=2sin x+ 32017全国卷 已知 ,tan = 2,则 cos = (0, 2) ( - 4). 取角 终边上特殊点(1,2),利用定义代入计算,求 sin ,cos . 答案:310102017全国卷 函数 f(x)在( - ,+ )单调递减,且为奇函数 .若 f
4、(1)=-1,则满足 -1 f(x-2)1 的 x 的取值范围是 ( )A.-2,2 B. -1,1 C.0,4 D.1,3当 x=4 时, f(x-2)=f(2)b0,且 ab=1,则下列不等式成立的是 ( )A.a+ b|b|,则下列不等式一定成立的是( )A.a3b3 B.a2b2C. 0,0,x=0,-1,x1,A.a4,x-ay2,则 ( )A.对任意实数 a,(2,1) AB.对任意实数 a,(2,1)AC.当且仅当 a 0,则 ( )A.sin 0B.cos 0C.sin 2 0 D.cos 2 0令 = 60,210,逐个验证选项 .答案:C测题1.已知函数 f(x)= 为奇函
5、数, g(x)=ln x-2f(x),则函数 g(x)的零点所在区间为 ( ) 1x-aA.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.已知函数 f(x)=sin (其中 0)图像的一条对称轴为直线 x= ,则 的最小值为 ( )(x + 6) 12A.2 B.45C.10 D.163.已知函数 f(x)=-x3-7x+sin x,若 f(a2)+f(a-2)0,则实数 a 的取值范围是 ( )A.(- ,1) B.(- ,3)C.(-1,2) D.(-2,1)4.圆 C:x2+y2=2,点 P 为直线 + =1 上的一个动点,过点 P 向圆 C 作切线,切点分别为 A,B,则
6、直线 AB 过定点 ( )x3y6A. B.(12,13) (23,13)C. D.(13,12) (13,23)角度三 估算法由于选择题提供了唯一正确的答案,又不需写出过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案,这样往往可以减少运算量 .估算省去了很多推导过程和复杂的计算,节省时间 .(1)使用前提:针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的命题,常与特值法结合起来使用 .(2)使用技巧:对于数值计算,常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等;对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算 .(3)常见问题:求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等 .示例 解
7、法关键2018全国卷 设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, ABC 为等边三角形且其面积为 9 ,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 3( )A.12 B.183 3C.24 D.543 3等边三角形 ABC 的面积为9 ,显然球心不是此三角形3的中心,所以三棱锥体积最大时,三棱锥的高应在区间(4,8)内,所以9 4bcB.bacC.cba D.caba=log2e1,b=ln 2= (0,1), c=lo =log21log2e g12133log2e,据此可得 cab.故选 D2017全国卷 函数 f(x)= sin +cos 的最大值为( 15 (x+ 3) (x
8、- 6)A. B .1 C . D .65 35 15 当 x= 时,函数值大于 1, 6故选 A62017全国卷 若 a1,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是 ( x2a2)A.( ,+ ) B .( ,2)2 2C.(1, ) D.(1,2)2列出关于 e 的表达式,用 a表示,根据 a1,估算 e 的范围 .答案:C测题1.某班设计了一个八边形的班徽(如图 F3-1), 它由四个腰长为 1,顶角为 的等腰三角形和一个正方形组成,则该八边形的面积为 ( )图 F3-1A.2sin - 2cos + 2B.sin - cos + 33C.3sin - cos + 13D.2sin -
9、 cos + 12.P 为双曲线 - =1(a0,b0)右支上的一点, F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则 PF1F2的内切圆圆心的横坐x2a2y2b2标为( )A.aB.bC. a2+b2D.a+b- a2+b23.sin 1,sin 2,sin 3 的大小关系为 ( )A.sin 1sin 2sin 3B.sin 2sin 1sin 3C.sin 3sin 2sin 1D.sin 2sin 3sin 14.若 0bC.ab2角度四 构造法构造法是一种创造性的解题方法,它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想 .利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等,从而简化推理与
10、计算过程,使较复杂的或不易求解的数学问题简单化 .构造法来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从类似的问题中找到构造的灵感 .(1)使用前提:所构造的函数、方程、图形等要合理,不能超出原题的限制条件 .(2)使用技巧:对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数,对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理 .(3)常见问题:比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等 .示例 解法关键2018全国卷 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=BC=1,AA1= ,则异3面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 ( )A. B . C . D
11、 .15 56 55 22在长方体 ABCD-A1B1C1D1的面 ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体 ABC2D2-A1B1B2A2,研究 AB2D1即可 .答案:C2016全国卷 , 是两个平面, m,n 是两条直线,有下列四个命题: 如果 m n,m ,n ,那么 . 如果 m ,n ,那么 m n. 如果 ,m ,那么 m . 如果 m n, ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 .其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 构造正方体,将有关棱与面看作问题中有关线与面,逐一判断 .答案:2016全国卷 若 ab0,0cb构造函数 y=logcx 和y=xc,
12、利用函数的单调性可解决 .答案:B2015全国卷 设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数, f(-1)=0,当 x0 时, xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是 ( )A.(- ,-1)(0,1) B .(-1,0)(1, + )C.(- ,-1)( -1,0) D.(0,1)(1, + )据题意构造新函数g(x)= ,先求导再解题 .f(x)x答案:A2015全国卷 设 Sn是数列 an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 由 an+1=Sn+1-Sn变形,再构造等差数列 求1Sn解 .答案: -1n测题81.已知等差数列 an的前
13、n 项和为 Sn.若 S5=7,S10=21,则 S15= ( )A.35 B.42C.49 D.632.已知 ab0,则下列不等式中成立的是 ( )A. 1a1bB.log2aa-12b-123.在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑 .如图 F4-1,在鳖臑 ABCD 中,AB平面 BCD,且 AB=BC=CD,则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ( )图 F4-1A. B.-12 12C. D.-32 324.设函数 f(x)的导函数为 f(x),且对任意 xR 都有 f(x)f(x)成立,则 ( )A.3f(ln 2)2f(ln 3)B.3f(l
14、n 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)b2与 lo |a|0,故排除 D 选项;当 1, f(x)的图像(图略)可知,符合题意,排除 A 选项 .故选 C.4.C 解析 (特殊位置法)取 A(0,3),B(0,-3),P(-5,0),则直线 OM,ON 的方程分别为 y= x,y=- x,可得35 35M ,N ,所以 S MON= .故选 C.(52,32) (52,- 32) 1525.2 解析 (选用特殊图形)设 ABC 为等边三角形,则有 tan C= ,S= a2,满足题中条件( a2+b2)tan C=8S,所334以 =2.sin2A+sin2Bsin2C角度二1.C 解
15、析 函数 f(x)= 为奇函数,可得 a=0,1x-a则 g(x)=ln x-2f(x)=ln x- ,显然函数 g(x)为增函数,且有 g(1)=ln 1-2=-20,g(4)=ln 4- 0,g(2)g(3)0,所以 B,C 错;若 a=-2,则 f(a2)+f(a-2)=f(4)+f(-4)=0,也不满足 f(a2)+f(a-2)0,所以 A 错 .故选 D.104.B 解析 如图所示,不妨设 P(3,0),AB 垂直 x 轴于点 D.在直角三角形 OAP 中,根据射影定理可知( )22=|OD|3,则 |OD|= ,即过切点 A,B 的直线方程为 x= .四个选项中,只有 B 选项符合
16、,故选 B.23 23角度三1.A 解析 当顶角 时,八边形几乎是边长为 2 的正方形,面积接近于 4,四个选项中,只有 A 符合,故选 A.2.A 解析 如图,点 P 沿双曲线向右顶点无限接近时, PF1F2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为右顶点,则内切圆圆心的横坐标为 a,故选 A.3.B 解析 因为 sin 1=sin( -1), sin( -1),即 sin 2 ( 2, )2sin 1.因为 sin 1=sin( -1), sin 3,即 sin 2 ( 2, )1sin 3.综上所述,sin 2 sin 1sin 3.4.A 解析 若 0,则 sin + cos =a
17、 1 .若 ,则 sin + cos =b ,从而 ba,结合选项分析, 4 2应选 A.角度四1.B 解析 (构造新数列)易知 S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即 7,14,S15-21 成等差数列,所以 7+(S15-21)=214,解得 S15=42.112.C 解析 (构造函数)因为 ab0,所以 log2b.因为 y= (x0)为1a1b x-12单调递减函数,所以 f(x)成立,所以 g(x)f(x)ex f(x)ex-f(x)exe2x f(x)-f(x)ex0,即 g(x)在 R 上单调递增 .又 ln 2ln 3,所以 g(ln 2)g(ln 3),即 ,即 ,所以 3f(ln 2)f(ln2)eln2f(ln3)eln3f(ln2)2 f(ln3)32f(ln 3).故选 C.
