1、典题精讲例 1 点 P(-3,2,-1)关于平面 xOy 的对称点是_;关于平面 yOz 的对称点是_;关于平面 zOx 的对称点是_;关于 x 轴的对称点是_;关于 y 轴的对称点是_;关于 z 轴的对称点是_;关于原点的对称点是_.思路解析:注意到点的对称方式 ,看清楚三维坐标对称后的符号的变化.关于平面 xOy 的对称点横、纵坐标不变号，竖坐标变号；关于平面 yOz 的对称点纵、竖坐标不变号，横坐标变号；关于平面 zOx 的对称点横、竖坐标不变号，纵坐标变号；关于 x 轴的对称点横坐标不变号，纵、竖坐标变号；关于 y 轴的对称点纵坐标不变号，横、竖坐标变号；关于 z 轴的对称点竖坐标不变
2、号，纵、横坐标变号；关于原点的对称点横、纵和竖坐标都变号.答案：(-3,2,1) (3,2,-1) (-3,-2,-1) (-3,-2,1) (3,2,1) (3,-2,-1) (3,-2,1)绿色通道：求对称点的坐标的规律是：关于谁对称，谁的坐标就不变号，其余的都要变号.变式训练 1(2006 东北三校一模， 18)点 P 在 x 轴上，它到点 P1(0，2，3)的距离是到点P2(0，1 ，-1)的距离的 2 倍，求点 P 的坐标.思路分析:本题给出了一个相等关系，即可以用方程的思想解决,即设出点 P 的坐标，然后将题意转化成方程进行解答.解：因为点 P 在 x 轴上，设 P(x，0，0)
3、，|PP1|= ，13)2(2x|PP2|= .|PP1|=2|PP2|， .xx解得 x=1.故所求点的坐标为 (1，0，0)或(-1 ，0，0).例 2 建立球心为 M0(x0，y 0， z0)，半径为 R 的球面方程.思路分析:根据到球心距离等于球半径列方程 .在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心、以定长为半径的球面.解：设 M(x，y，z)是球面上的任意一点 如图 2-4-(1,2)-3 ，那么|M 0M|=R，即 =R.202020 )()()( zx两边同时平方，得所求的球面方程为(x-x0)2+(y-
4、y0)2+(z-z0)2=R2.如果球心在原点，那么 x0=y0=z0=0，这时球面的方程为 x2+y2+z2=R2.图 2-4-(1,2)-3绿色通道：空间两点间的距离公式是目前我们解决空间问题的唯一的工具.变式训练 2 证明以 A(4,3,1)、 B(7,1,2)、C(5,2,3)为顶点的ABC 是一等腰三角形.思路分析:根据两点间的距离公式分别求出线段 AB、BC、AC 的长，然后就可发现这三条线段中有两条长度相等，即可得证.解：由两点间距离公式得|AB|= ,14)2()31()47(2|BC|= ,65|CA|= .)()()(222由于|BC|=|CA|=6，所以ABC 是一等腰三
5、角形.问题探究问题根据“在直线坐标系中，研究点，在平面直角坐标系中，研究线(主要是直线和曲线)” ，探究在空间直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么，如何表示.导思：在直线坐标系中，研究点的方法是建立一元方程，即任意一个实数都对应数轴上的一点；在平面直角坐标系中，研究线的方法是建立二元方程，这个方程是不定方程，有无数组解，每一个解都对应平面上的一个点，这些点的集合构成线；因此，在空间直角坐标系中，研究的对象应该是面，研究面的方法应该是建立三元方程，当然三元方程也是不定方程，也有无数组解，每一个解对应空间中的一个点，这些点的集合构成面.探究：在平面直角坐标系中，到原点(0，0) 的距离等于定长 R 的点的集合是以原点为圆心，以定长 R 为半径的圆.圆的方程可以这样得到：设到原点(0，0) 的距离等于定长 R 的任意一点 P 的坐标为(x,y) ，则根据两点间距离公式有 =R，即 x2+y2=R2.22)0()(yx那么在空间直角坐标系中，到原点 O(0，0，0) 的距离等于定长 R 的点的集合是什么呢？我们不妨设到原点 O(0，0， 0)的距离等于定长 R 的任意一点的坐标为 P(x,y,z)，则根据空间两点间的距离公式,得 =R，即 x2+y2+z2=R2,它表示一个球222)()()(zyx面.
