1、第 19 章 矩形，菱形与正方形章末测试（一）总分 120 分 120 分钟 一选择题（共 8 小题，每题 3 分）1在四边形 ABCD 中，A=60，ABC=ADC=90，BC=2，CD=11，自 D 作 DHAB 于 H，则 DH 的长是（ ）A7.5 B7 C6.5 D5.52下列说法：矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；两条对角线相等的四边形是矩形；有两个角相等的平行四边形是矩形； 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形其中，正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3不能判断四边形 ABCD 是矩形的是（0 为对角线的
2、交点） （ ）AAB=CD ，AD=BC ， A=90 BOA=OB=OC=ODCAB CD，AC=BD DAB CD，OA=OC ，OB=OD4如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD ，AC BD，添加适当的条件使四边形 ABCD 成为菱形下列添加的条件不正确的是（ ）AAB CD BAD=BC CBD=AC DBO=DO5能判定四边形 ABCD 是菱形的条件是（ ）A对角线 AC 平分对角线 BD，且 ACBDB对角线 AC 平分对角线 BD，且A= CC对角线 AC 平分对角线 BD，且平分A 和CD对角线 AC 平分A 和 C，且 A=C6已知如图，在矩形 ABCD 中有两个一条边长
3、为 1 的平行四边形则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（ ）来源 :学优高考网A大于 1 B等于 1 C小于 1 D小于或等于 17矩形各内角的平分线能围成一个（ ）A矩形 B菱形 C等腰梯形 D正方形8如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（ ）A对角线互相垂直且相等 B对角线互相垂直C对角线相等 D对角线互相平分二填空题（共 6 小题，每题 3 分）9如图，凸五边形 ABCDE 中，A= B=120，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 _ 10四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件：AB=AD； DAB=90；AO=CO，BO=D
4、O；矩形 ABCD；菱形 ABCD，正方形 ABCD，则在下列推理不成立的是 _ A、；B、 ；C 、；D 、11 _ 的矩形是正方形， _ 的菱形是正方形12若四边形 ABCD 是矩形，请补充条件 _ （写一个即可） ，使矩形 ABCD 是正方形13如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上过点 D 分别作 AB、AC 的平行线，分别交 AC、AB 于点 E、F如果要得到矩形 AEDF，那么ABC 应具备条件： _ ；如果要得到菱形 AEDF，那么ABC 应具备条件： _ 14在矩形 ABCD 中，M 为 AD 边的中点，P 为 BC 上一点，PEMC，PF MB，当 AB、BC 满足条件 _
5、 时，四边形 PEMF 为矩形三解答题（共 11 小题）15 （6 分）如图所示，顺次延长正方形 ABCD 的各边 AB，BC ，CD，DA 至 E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH求证：四边形 EFGH 是正方形16 （6 分）已知：如图，ABC 中，D 是 BC 上任意一点，DE AC，DFAB试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由连接 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？在的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由17 （6 分）已知：如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是 BC 边上的高，AE 是BAC 的外角平
6、分线，DE AB 交 AE于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形18 （6 分）已知：如图，M 为ABCD 的 AD 边上的中点，且 MB=MC，求证：ABCD 是矩形19 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC= ADC=90，C=45，BC=4，AD=2 求四边形 ABCD 的面积20 （8 分）如图，CAE 是ABC 的外角，AD 平分EAC，且 ADBC过点 C 作 CGAD，垂足为 G，AF 是BC 边上的中线，连接 FG（1）求证：AC=FG（2）当 ACFG 时，ABC 应是怎样的三角形？为什么？21 （8 分）如图，E 是等边 ABC 的 BC 边上一点，以 AE 为
7、边作等边 AEF，连接 CF，在 CF 延长线取一点 D，使DAF= EFC试判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论22 （8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0，BEAC，EC BD，BE、EC 相交于点 E试说明：四边形 OBEC 是菱形23 （8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CEBD，DEAC，若 AC=4，判断四边形 CODE的形状，并计算其周长来源:学优高考网24 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与BC 相交于 N，连接 MN，DN
8、（1）求证：四边形 BMDN 是菱形；（2）若 AB=6，BC=8 ，求 MD 的长25 （8 分）如图所示，有四个动点 P，Q，E，F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发，沿着 AB，BC，CD ，DA以同样速度向 B，C，D，A 各点移动（1）试判断四边形 PQEF 是否是正方形，并证明；来源:学优高考网 gkstk（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（一）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1在四边形 ABCD 中，A=60，ABC=ADC=90，BC=2，CD=11，自 D 作 DHAB 于 H，则 DH 的长是（ ）A 7.5 B7 C
9、6.5 D 5.5考点： 矩形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形菁优网版权所有专题： 几何综合题分析： 过 C 作 DH 的垂线 CE 交 DH 于 E，证明四边形 BCEH 是矩形所以求出 HE 的长；再求出DCE=30，又因为 CD=11，所以求出 DE，进而求出 DH 的长解答： 解：过 C 作 DH 的垂线 CE 交 DH 于 E，DHAB，CB AB，CBDH 又 CEDH，四边形 BCEH 是矩形HE=BC=2，在 RtAHD 中， A=60，ADH=30，又ADC=90CDE=60，DCE=30，在 RtCED 中， DE= CD=5.5，DH=2+5.5=7.5故选 A点
10、评： 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用2下列说法：矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；两条对角线相等的四边形是矩形；有两个角相等的平行四边形是矩形； 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形其中，正确的有（ ）A 1 个 B2 个 C3 个 D 4 个考点： 矩形的判定与性质菁优网版权所有分析： 直接利用矩形的性质与判定定理求解即可求得答案解答： 解：矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；有两
11、个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误故选 A点评： 此题考查了矩形的性质与判定定理此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键3不能判断四边形 ABCD 是矩形的是（0 为对角线的交点） （ ）A AB=CD，AD=BC， A=90 B OA=OB=OC=OD CAB CD，AC=BD D AB CD，OA=OC，OB=OD考点： 矩形的判定菁优网版权所有分析： 矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形据此判断解答：
12、解：A、由“AB=CD，AD=BC ”可以判定四边形 ABCD 是平行四边形，又BAD=90 ，则根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形 ABCD 是矩形，故本选项不符合题意；B、根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形 ABCD 是矩形，故本选项不符合题意；C、根据 AB CD 得到四边形是平行四边形，根据 AC=BD，利用对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；D、只能得到四边形是平行四边形，故本选项符合题意；故选：D来源:gkstk.Com点评： 本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定难度一般4如图
13、，在四边形 ABCD 中，AB=CD ，AC BD，添加适当的条件使四边形 ABCD 成为菱形下列添加的条件不正确的是（ ）A ABCD BAD=BC CBD=AC D BO=DO考点： 菱形的判定菁优网版权所有分析： 通过菱形的判定定理进行分析解答解答： 解：A 项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形 ABCD 为菱形，故本选项错误，B 项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形 ABCD 为菱形，故本选项错误，C 项根据题意还可以推出四边形 ABCD 为等腰梯形，故本选项正确，D 项根据题意可以推出 RtAODRtCOB，即可推出 OA=OC，再根据
14、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形这一定理推出四边形 ABCD 为菱形，故本选项错误，故选择 C点评： 本题主要考查菱形的判定，关键在于熟练掌握菱形的判定定理5能判定四边形 ABCD 是菱形的条件是（ ）A 对角线 AC 平分对角线 BD，且 ACBDB 对角线 AC 平分对角线 BD，且A= CC 对角线 AC 平分对角线 BD，且平分A 和CD 对角线 AC 平分A 和C，且A= C考点： 菱形的判定菁优网版权所有专题： 推理填空题分析： 菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形据此判断即可解答： 解：A、C 的反例如图，AC
15、 垂直平分 BD，但 AOOC；B 只能确定为平行四边形故选 D点评： 主要考查了菱形的判定菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角6已知如图，在矩形 ABCD 中有两个一条边长为 1 的平行四边形则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（ ）A 大于 1 B等于 1 C小于 1 D 小于或等于 1考点： 菱形的判定与性质菁优网版权所有分析： 利用割补法得出阴影部分面积为四边形 EFMN 的面积，进而利用直角三角形的性质得出 EG1，即可得出答案解答： 解：如图所示：作 ENAB，FM CD，过点 E 作 EGMN 于点 G，可得阴影部分面等于四边形
16、EFMN 的面积，则四边形 EFMN 是平行四边形，且 EN=FM=1，EN=1，EG1，它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于 1故选：C点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分面等于四边形 EFMN的面积是解题关键7矩形各内角的平分线能围成一个（ ）A 矩形 B菱形 C等腰梯形 D 正方形考点： 正方形的判定；矩形的性质菁优网版权所有分析： 根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可解答： 解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成 8 个 45的角，因此形成的四边形每个角是 90又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有
17、一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形故选：D点评： 此题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角8如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（ ）A 对角线互相垂直且相等 B 对角线互相垂直 C 对角线相等 D 对角线互相平分考点： 正方形的判定；平行四边形的性质菁优网版权所有分析： 根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形对各个选项进行分析解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，同时具有矩形和菱形的性
18、质的平行四边形是正方形，故本选项正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、平行四边形的对角线都互相平分，这是平行四边形的性质故本选项错误；故选 A点评： 此题主要考查正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形二填空题（共 6 小题）9如图，凸五边形 ABCDE 中，A= B=120，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 7 考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 作辅助线延长 EA，BC 相交于点 F，CGEF 于 G，BHEF 于 H，因为EAB= CBA=1
19、20，可得FAB=FBA=60，可得FAB 为等边三角形，容易证明四边形 EFCD 是菱形，所以 SABCDE=SCDEFSABF 由此即可求解解答： 解：如图，延长 EA，BC 相交于点 F，CGEF 于 G，BHEF 于 H，因为EAB=CBA=120 ，所以FAB=FBA=60，所以FAB 为等边三角形，AF=FB=AB=2，所以 CD=DE=EF=FC=4，所以四边形 EFCD 是菱形，所以 SABCDE=SCDEFSABF点评： 本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线
20、段都相等10四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件：AB=AD； DAB=90；AO=CO，BO=DO；矩形 ABCD；菱形 ABCD，正方形 ABCD，则在下列推理不成立的是 C A、；B、 ；C 、；D 、考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案解答： 解：A、由得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由 得
21、，四边形是平行四边形，再由，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；C、由不能判断四边形是正方形；D、由得，四边形是平行四边形，再由 ，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确故选 C点评： 此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形灵活掌握这些判定定理是解本题的关键11 有一组邻边相等 的矩形是正方形， 有一个角为直角 的菱形是正方形考点： 正方形的判定菁优网版权所有分析： 根据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形）求解即可求得答
22、案解答： 解：有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形故答案为：有一组邻边相等，有一个角为直角点评： 此题考查了正方形的判定此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键来源:gkstk.Com12若四边形 ABCD 是矩形，请补充条件 此题答案不唯一，如 ACBD 或 AB=AD 等 （写一个即可） ，使矩形ABCD 是正方形考点： 正方形的判定菁优网版权所有专题： 开放型分析： 由四边形 ABCD 是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案解答： 解：四边形 ABCD 是矩形，当 ACBD 或 AB=AD 时，矩形 ABCD 是正方形故答案为
23、：此题答案不唯一，如 ACBD 或 AB=AD 等点评： 此题考查了正方形的判定此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键13如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上过点 D 分别作 AB、AC 的平行线，分别交 AC、AB 于点 E、F如果要得到矩形 AEDF，那么ABC 应具备条件： BAC=90 ；如果要得到菱形 AEDF，那么ABC 应具备条件： AD 平分BAC 来源:gkstk.Com考点： 菱形的判定；矩形的判定菁优网版权所有分析： 已知 DEAB，DF AC，则有四边形 AEDF 是平行四边形 因为有一直角的平行四边形是矩形，可添加条件：BAC=90 ；邻边相等的平行四边形是菱形
24、，可添加条件：AD 平分BAC解答： 解：DEAB，DFAC，AF、AE 分别在 AB、AC 上DEAF，DFAE四边形 AEDF 是平行四边形BAC=90四边形 AEDF 是矩形；AD 是ABC 的角平分线，DAE=DAFADE=DAEAE=DEAEDF 是菱形故答案为BAC=90 ，AD 平分 BAC点评： 本题考查菱形和矩形的判定本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可14在矩形 ABCD 中，M 为 AD 边的中点，P 为 BC 上一点，PEMC，PF MB，当 AB、BC 满足条件 AB= BC 时，四边形
25、PEMF 为矩形来源:学优高考网来源:学优高考网考点： 矩形的判定与性质菁优网版权所有分析： 根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形 PEMF 为矩形，只需证明BMC=90 ，易得AB= BC 时能满足BMC=90 的条件解答： 解：AB= BC 时，四边形 PEMF 是矩形在矩形 ABCD 中，M 为 AD 边的中点，AB= BC，AB=DC=AM=MD，A=D=90 ，ABM=MCD=45，BMC=90，又 PEMC，PFMB ，PFM=PEM=90，四边形 PEMF 是矩形点评： 此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点三解答题（共 11 小题）15如
26、图所示，顺次延长正方形 ABCD 的各边 AB，BC，CD，DA 至 E，F，G，H，且使 BE=CF=DG=AH求证：四边形 EFGH 是正方形考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 此题先根据正方形 ABCD 的性质，可证AEHCGF DHG（SAS） ，得四边形 EFGH 为菱形，再求一个角是直角从而证明它是正方形解答： 证明：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=DA，EBF=HAE=GDH=FCG ，又 BE=CF=DG=AH，CG=DH=AE=BFAEHCGFDHG，EF=FG=GH=HE， EFB=HEA，四边形 EFGH 为菱形，
27、EFB+FEB=90，EFB=HEA，FEB+HEA=90，四边形 EFGH 是正方形点评： 本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形16已知：如图，ABC 中，D 是 BC 上任意一点，DEAC，DFAB试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由连接 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？在的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由考点： 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定菁优网版权所有分析： 根据 DEAC，DFAB 可判断四边形 AEDF 为平行四边形；由四边形 AEDF 为菱形，能得出 AD 为BAC
28、的平分线即可；由四边形 AEDF 为正方形，得BAC=90，即当ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可解答： 解：DEAC，DFAB，四边形 AEDF 为平行四边形；四边形 AEDF 为菱形，AD 平分 BAC，来源:gkstk.Com则 AD 平分BAC 时，四边形 AEDF 为菱形；由四边形 AEDF 为正方形，BAC=90 ，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可点评： 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质以及矩形的性质17已知：如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是 BC 边上的高， AE 是BAC 的外角平分线，DE AB 交 AE 于点 E，求证：四边形
29、ADCE 是矩形考点： 矩形的判定菁优网版权所有分析： 首先利用外角性质得出B=ACB= FAE=EAC，进而得到 AECD，即可求出四边形 AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形 ADCE 是平行四边形，即可求出四边形 ADCE 是矩形解答：证明：AB=AC ，B=ACB，AE 是BAC 的外角平分线，FAE=EAC，B+ACB=FAE+EAC，B=ACB=FAE=EAC，AECD，又 DEAB，四边形 AEDB 是平行四边形，AE 平行且等于 BD，又 BD=DC， AE 平行且等于 DC，故四边形 ADCE 是平行四边形，又ADC=90，平行四边形 ADCE 是矩形即四
30、边形 ADCE 是矩形点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形 AEDB 是平行四边形是解题关键18已知：如图，M 为ABCD 的 AD 边上的中点，且 MB=MC，求证：ABCD 是矩形考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 根据平行四边形的两组对边分别相等可知ABM DCM，可知A+ D=180，所以是矩形解答： 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD来源:学优高考网AM=DM，MB=MC ，ABMDCMA=DABCD，A+D=180A=90ABCD 是矩形点评： 此题主
31、要考查了矩形的判定，即有一个角是 90 度的平行四边形是矩形19如图，在四边形 ABCD 中，ABC= ADC=90，C=45，BC=4，AD=2 求四边形 ABCD 的面积考点： 矩形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有分析： 如上图所示，延长 AB，延长 DC，相交于 E 点ADE 是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出ADE 的面积； C=AED=45 度，所以 CBE 是等腰直角三角形，BE=CB=4 厘米，则可以求出CBE 的面积；那么四边形 ABCD 的面积是两个三角形的面积之差解答： 解：延长 AB，延长 DC，相交于 E 点，得到两个等腰直角三角形ADE 和CBE
32、，由等腰直角三角形的性质得：DE=AD=2，BE=CB=4，那么四边形 ABCD 的面积是：442222=82=6答：四边形 ABCD 的面积是 6点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键20如图，CAE 是ABC 的外角，AD 平分EAC，且 ADBC过点 C 作 CGAD，垂足为 G，AF 是 BC 边上的中线，连接 FG（1）求证：AC=FG（2）当 ACFG 时，ABC 应是怎样的三角形？为什么？考点： 矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题： 证明题分析： 先根据
33、题意推理出四边形 AFCG 是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和 ACFG 得到四边形 AFCG 是正方形，然后即可得到ABC 是等腰直角三角形解答： （1）证明：AD 平分EAC，且 ADBC，ABC=EAD=CAD=ACB，AB=AC；AF 是 BC 边上的中线，AFBC，CGAD，AD BC，CGBC，AFCG，四边形 AFCG 是平行四边形，AFC=90，四边形 AFCG 是矩形；AC=FG（2）解：当 ACFG 时，ABC 是等腰直角三角形理由如下：四边形 AFCG 是矩形，四边形 AFCG 是正方形，ACB=45，AB=AC，ABC 是等腰直角三角形点评： 该
34、题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰21如图，E 是等边ABC 的 BC 边上一点，以 AE 为边作等边 AEF，连接 CF，在 CF 延长线取一点 D，使DAF=EFC试判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 在已知条件中求证全等三角形，即BAE CAF，AEC AFD，从而得到 ACD 和ABC 都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定解答： 解：四边形 ABCD 是菱形证明：在ABE、ACF 中AB=AC，AE=
35、AFBAE=60EAC，CAF=60EACBAE=CAFBAECAFCFA=CFE+EFA=CFE+60BEA=ECA+EAC=EAC+60EAC=CFEDAF=CFEEAC=DAFAE=AF，AEC= AFDAECAFDAC=AD，且 D=ACE=60ACD 和ABC 都是等边三角形四边形 ABCD 是菱形点评： 本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论22如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0，BEAC，EC BD，BE、EC 相交于点 E试说明：四边形OBEC 是菱形考点： 菱形的判定；矩
36、形的性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 在矩形 ABCD 中，可得 OB=OC，由 BEAC，ECBD，所以四边形 OBEC 是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形解答： 证明：在矩形 ABCD 中，AC=BD ，OB=OC，BEAC，ECBD，四边形 OBEC 是平行四边形，四边形 OBEC 是菱形点评： 熟练掌握菱形的性质及判定定理23如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CEBD，DEAC，若 AC=4，判断四边形 CODE 的形状，并计算其周长考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质菁优网版权所有分析： 首先由 CEBD，DE AC，可证得四边形 CODE
37、是平行四边形，又由四边形 ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得 OC=OD=2，即可判定四边形 CODE 是菱形，继而求得答案解答： 解：CEBD，DEAC，四边形 CODE 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，OD=OC= AC=2，四边形 CODE 是菱形，四边形 CODE 的周长为：4OC=42=8故答案为：8点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质此题难度不大，注意证得四边形 CODE 是菱形是解此题的关键24如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与 BC 相交
38、于 N，连接 MN，DN（1）求证：四边形 BMDN 是菱形；（2）若 AB=6，BC=8 ，求 MD 的长考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质菁优网版权所有分析： （1）根据矩形性质求出 ADBC，推出 MDO=NBO， DMO=BNO，证DMO BNO，推出OM=ON，得出平行四边形 BMDN，推出菱形 BMDN；（2）根据菱形性质求出 DM=BM，在 RtAMB 中，根据勾股定理得出 BM2=AM2+AB2，推出 x2=（8 x） 2+62，求出即可解答： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，A=90 ，MDO=NBO，DMO=BNO，在DMO 和 BN
39、O 中，DMOBNO（ASA） ，OM=ON，OB=OD，四边形 BMDN 是平行四边形，MNBD，平行四边形 BMDN 是菱形（2）解：四边形 BMDN 是菱形，MB=MD，设 MD 长为 x，则 MB=DM=x，在 RtAMB 中，BM 2=AM2+AB2即 x2=（8 x） 2+62，解得：x= 答：MD 长为 点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形25如图所示，有四个动点 P，Q，E，F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发，沿着 AB，BC，CD ，DA 以同样速
40、度向 B，C ，D，A 各点移动（1）试判断四边形 PQEF 是否是正方形，并证明；（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 动点型分析： （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形 PQEF 是否使正方形（2）证 PE 是否过定点时，可连接 AC，证明四边形 APCE 为平行四边形，即可证明 PE 过定点解答： 解：（1）在正方形 ABCD 中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA ，BP=QC=ED=FA又BAD=B= BCD=D=90，AFPBPQCQEDEFFP=PQ=QE=EF， APF=PQB四边形 PQEF 是菱形，FPQ=90，四边形 PQEF 为正方形（2）连接 AC 交 PE 于 O，AP 平行且等于 EC，四边形 APCE 为平行四边形O 为对角线 AC 的中点，对角线 PE 总过 AC 的中点点评： 在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线
