1、更上一层楼基础巩固1.设 a=(-1，1) ，b=(-1,2), c=(3,-2),用 a、b 作基底，可将向量 c 表示为 c=pa+qb,则( )A.p=-4,q=1 B.p=1,q=-4 C.p=0,q=4 D.p=1,q=4思路解析：由(3，-2)=p(-1,1)+q(-1,2)=(-p-q,p+2q)，所以 解得 p=-4,q=1.-2.qp3,-答案：A2.设 A、B、C 、 D 四点坐标依次是(-2，0) 、(4，1) 、(5，3) 、(-1，2)，则四边形 ABCD 为( )A.正方形 B.梯形 C.菱形 D.平行四边形思路解析：如右图所示,=(-1,2)-(-2,0)=(1,
2、2), =(5,3)-(4,1)=(1,2),ADBC .由平面上两点间距离公式可得 ABAD,四边形为平行四边形.答案：D3.若 a=(sin，- ),b=(cos, )且 ab,则钝角 为( )31A.30 B.60 C.45 D.135思路解析：由 ab, sin+ cos=0,即 sin+cos=0.tan=-1.又 为钝角,=135.答案：D4.若 O(0，0) ， B(1，3)，且 ，则 B点的坐标为( )OB3A.(3,9) B.(-3,9) C.(-3,3) D.(3,-3)思路解析：由于点 B 坐标为(1，3)，则 =(1，3) ，则 =3(1，3)=(3 ，9).OB3答案
3、：A5.O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 +(A)， 0，+),则 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )|A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心思路解析：因 与 都为单位向量，所以 ( )平分 与 的夹|AB|C|ACBBA角,如右图所示,即 平分A,即 通过ABC 的内心.AP答案：B6.已知边长为 2 的正方形 ABCD，若 A 点与坐标原点重合，边 AB、AD 分别落在 x 轴、y轴的正方向上，则向量 的坐标为_.CB3思路解析：根据题意建立坐标系如图,则 A(0， 0)，B(2 ，0)，C(2，2) ，D(0，2). =(2，0)， =(0，2)，
4、 =(2，2).ABCA =(4，0)+(0 ，6)+(2，2)=(6，8).32答案：(6，8)7.已知 a=(6,4),b=(4,-2),若 a+b 与 a+b(R)平行，则 =_.思路解析：a+b=(6,4)+(4,-2)=(6+4,4-2),a+b=(6,4)+(4,-2)=(6+4,4-2).(a+b)(a+b),(6+4)(4-2)-(6+4)(4-2)=0,即 72=7.=1 或-1.答案：1 或-18.D、E、F 分别为 ABC 的边 BC、CA、AB 上的中点，且 =a， =b,给出下列命题：BCA =- a-b； =a+ b； = a+ b； =0.AD2BE21CF21F
5、ED其中正确命题的序号为_.思路解析：如右图所示，=-b+ =-b- a，CDA21B=a+ b，EB=-b-a,+ =b+ (-b-a)= b- a，CAF2121=-b- a+a+ b+ b- a=0.BED所以应填.答案：9.已知 A(1，2),B(4，8), ， ,求点 C、D 和向量 的坐标.ABC3A3思路分析：可利用某点的坐标与从原点出发的向量一一对应求解.解： =(4，8)-(1 ，2)=(3， 6),AB =(9，18).C3 =(1，2)+(9 ，18)=(10，20),O即 C 点坐标为(10，20).又 =-3(-3，-6)=(9，18),BAD3 =(1，2)-(9，
6、18)=(-8，-16),即 D 点坐标为(-8 ，-16).=(-8，-16)-(10，20)=(-18，-36).C10.已知：A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3).(1)求证：A、B、C 三点不共线；(2)以 、 为一组基底来表示 .CDBA思路分析：利用向量的坐标运算及两向量平行的充要条件.(1)证明： =(1,3), =(2,4),又14-320. 与 不共线.ABCA、 B、C 三点不共线.(2)解： =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).D设 ，ACnBm即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).4n3821-2.3, .ACBCDB
7、A综合应用11.已知梯形 ABCD 中，AB CD，且 AB=2CD，M、N 分别为 CD、AB 的中点，设=e1， =e2，以 e1、e 2 为基底表示 MN 是( )A.- e1+e2 B. e1-e2 C.e1- e2 D.e1+ e24444思路解析：把所求向量放入与基底相关的三角形或平行四边形中，构造向量关系式求解.如右图， .)(ADNDMN由于 ABCD，且 AB=2CD，M 、N 分别为 CD、AB 的中点，则=- =- e1， = = e1.MD4AB2AB所以 =- e1+ e1-e2= e1-e2.)(DN4答案：B12.已知向量 a=(2，2)，b =(2，-2)，c=
8、(-2，4) ，则 c 等于( )A.- a+ b B. a- b C. a- b D.- a+ b2132323231思路解析：可设 c=xa+yb，再利用向量相等建立方程解之即可.设 c=xa+yb，则有(-2,4)=x(2,2)+y(2,-2)=(2x+2y,2x-2y) ，即解之,得.21yx,23,1yx答案：B13.已知 A(3，-1)，B(5，4)，向量 p 的坐标为(2k-1,7)，当 p 时，k 的值是( )ABA.- B. C.- D.109109109109思路解析：求出 的坐标，利用向量平行的坐标表示列出方程组求解即可.AB=(5，4)-(3，-1)=(2，5)，又 p
9、=(2k-1,7)，且 p ，则有AB27-(2k-1)5=0，解得 k= .109答案：D14.若向量 a=(-1,x)与 b=(-x,1)共线且方向相同，则 x 的值为_.思路解析：a=(-1,x)与 b=(-x,1)共线,(-1)1-x(-x)=0,即 x2=1.x=1.a 与 b 方向相同,x=1.答案：115.如图，在ABC 中， =a, =b,AD 为边 BC 的中线， G 为 ABC 的重心，则向量ABC=_.AG思路解析：方法一： =a， =b，则 = = b.BD21C =a+ b.而 = ,BDA21AG3D = a+ b.G32方法二：过 G 作 BC 的平行线，交 AB
10、、AC 于 E、F.AEFABC,= = a， = = b， = = b,AE32DEF32BCEG21F3 = a+ b.G1答案： a+ b32116.已知向量集合 M=a|a=(1,2)+(3,4),R ，N= a|a=(-2,-2)+(4,5),R ，则MN=_.思路解析：利用 MN 的元素特殊，列出方程组求解.M=a|a=(1+3,2+4),R， N=a|a=(-2+4,-2+5),R，MN 的元素既在 M 内又在 N 内，故可设(1+3x,2+4x)=(-2+4y,-2+5y),x、yR ，即 解得5y.-24x,310.-1,x所以 MN=(-2,2).答案：(-2,2)17.证
11、明三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.思路分析：利用向量的方法证明平面几何问题.证明：设 =b， =a，则 =b+ a,ABCCDA21= b+a.CBE21A、 G、 D 共线， B、G 、E 共线,可设 = ， = ,则 = =(b+ a)=b+ a,21= =( b+a)= b+a,EB ,即 b+( b+a)=b+ a,AG21(- )a+( -+ )b=0.2121a， b 不平行， = ,02131AG2D即三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.回顾展望18.(2006 全国高考)已知向量 a=(4,2),b=(x,3),且 ab，则 x 等于( )A.9 B.6 C.5 D.3思路解析：由于 a=(4,2),b=(x,3)，则若 ab，应有 43-2x=0，即 x=6.答案：B19.(2006 山东高考)设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( )A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)思路解析：设 d=(x,y)，则由已知可得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0，即(4，-12)+(-8，16)-(-2，-4)+(4，-2)+(x,y)=(0 ，0).解得 x=-2,y=-6.答案：D
