1、6.1 平方根、立方根1了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根2能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题3知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根4能运用算术平方根解决一些简单的实际问题1平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根换句话说，如果 x2 a，那么 x 叫做 a 的平方根，例如 224，(2)24，则 4 的平方根是2 和2(也可合写为2)，2 和2 都是 4 的平方根(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数
2、没有平方根(3)平方根的表示：正数 a 有两个平方根，一个是 a 的正的平方根，记作“ ”，读作a“根号 a”，另一个是 a 的负的平方根，记作“ ”，读作“负根号 a”，这两个平方根合a起来可记作“ ”，读作“ 正、负根号 a”，其中 a 叫做被开方数a【例 11】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2) ；(3) 23625 ( 32)分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根解：(1)(0.8) 20.64，0.64 的平方根是0.8(2) 2 ， 的平方根是 .(65) 3625 3625 65(3) 2
3、2，(32) ( 32) 2的平方根是 .(32) 32求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如 2是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它(32)的平方根仅有 .32【例 12】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由(1) ；(2)0；(3)4；(4)0.49；(5)(3) 22516分析：数的序号 存在情况 原因(1) 有 2 个(5) 有 2 个 因为是正数，所以有两个平方根(3) 无(4) 无 因为是负数，所以没有平方根(2) 有 1 个 0 的平方根是它本身解：(1)因为 是正数，所以 有两个平方根25
4、16 2516由于 2 ，所以 的平方根是 .(54) 2516 2516 54(2)0 只有一个平方根，是它本身(3)因为4 是负数，所以4 没有平方根(4)因为0.49 是负数，所以0.49 没有平方根(5)因为(3) 29，所以(3) 2为正数，有两个平方根由于 9 的平方根是3，所以(3) 2的平方根是32算术平方根的概念正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平方根.0 的算术平方根是 0.因此如果 x2 a，那a么正数 x 叫做 a 的算术平方根平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：表示方法不同：正数 a 的平方根表示为 ；正数 a 的算术平方根表示为a.a个数不同：一个正数的
5、平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数平方根等于本身的数只有一个数，这个数是 0；算术平方根等于本身的数有两个：0 和 1(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有负数没有平方根和算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是 0.【例 2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)1 ；(3) .79 16分析：根据算术平方根的定义，求正数 a 的算术平方根，也就是求一个非负数 x，使x2 a，则 x 就是 a 的算术平方根(1)因为 14219
6、6，所以 196 的算术平方根是 14(2)因为 1 ， 2 ，所以 的算术平方根是 ，即 1 的算术平方根是 .79 169 (43) 169 169 43 79 43(3)因为要求的是 的算术平方根，所以要先算出 ，再求算术平方根. 表示的16 16 16是 16 的算术平方根，所以 4由于 224，所以 4 的算术平方根是 2，即 的算术平16 16方根是 2解：(1) 14196(2) .179 169 43(3)因为 4,4 的算术平方根是 2，所以 的算术平方根是 216 16求正数 a 的算术平方根，只需找出平方等于 a 的正数求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时
7、，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现 1 的错误11649 473开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可例如，用计算器求 529 与 44.81 的算术平方根：在计算器上依次键入 ，显示结果为 23，因此 529 的算术平方根为52923 529在计算器上依次键入 ，显示结果为 6.940 271 88，如果要求精确到44.810.01，那么 6.9444.81(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程
8、(2)开平方是平方的逆运算我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确(3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数 m 和指数 2，求幂，是平方运算，即 m2(？)；已知幂 a 和指数 2，求底数，是开平方，即(？) 2 a.(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作【例 3】求下列各式中未知数的值：(1)x225；(2)(2 a3) 216分析：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，它有一正一负两个值(1)因为 x225，所以 x 就是 25 的平方根，有两个，是5；(2)将 2a3 看成一个整体，根据平方根的定义易
9、知 2a3 就是 16 的平方根，是4，即 2a34，在此基础上，分两种情况分别求出 a 的值即可解：(1)因为(5) 225，所以 x5(2)因为(4) 216，所以 2a34当 2a34 时，解得 a .12当 2a34 时，解得 a .72故所求 a 的值是 或 .12 72利用开平方解方程的方法是：先把方程化为 x2 m(m0)的形式，然后根据开平方得到 x .特别地，要注意整体思想的应用m4立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根(也叫做三次方根)也就是说，如果 x3 a，那么 x 叫做 a 的立方根(2)立方根的表示方法：数 a 的立
10、方根记为“ ”，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开3a方数，3 是根指数，这里的根指数“3”不能省略【例 4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)27；(3)3 ；(4)0.064；(5)0；(6)538分析：求一个数 a 的立方根，关键是求出满足等式 x3 a 中 x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁解：(1)因为 3327，所以 3327(2)因为(3) 327，所以 33 27(3)因为 3 ，而 3 ，所以 .38 278 (32) 278 3338 32(4)因为(0.4) 30.064，所以 0.43 0.064(5)因为 030，
11、所以 0.30(6)5 的立方根是 .3 5开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，5 的立方根是 .3 55开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方开立方与立方互为逆运算我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根被开立方的数可以是正数、负数和 0；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根(2)用计算器求一个数的立方根及近似值用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按 键，再按书写顺序按键即可例如用计算器求 ，在计算器上依次键入2ndf 31 845 2ndf3，显示结果为 12.264 940 82，若计算
12、结果要求精确到 0.01，则 1 845 的立方根为184512.26，即 12.2631 845【例 5】解方程：(1)125x3270；(2)(5 x3) 3343分析：(1)把原方程变形为 x3 后，可知 x 是 的立方根(2)把 5x3 看做整体，27125 27125则易知它是 343 的立方根，其值可求，在此基础上可求 x.解：因为 125x3270，所以 x3 .故 x .27125 35(2)因为(5 x3) 3343，所以 5x3 7，3343即 5x10故 x2利用开立方解方程的方法：先把方程化为 x3 m 的形式，然后根据开立方得到 x .特别地，要注意整体思想的应用3m
13、6立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0.(1)立方根的符号与被开方数的符号一致；(2)一个数的立方根是唯一的；(3) ， a，( )3 a.3 a 3a 3a3 3a【例 6】下列语句正确的是( )A 的立方根是 264B3 是 27 的立方根C 的立方根是125216 56D(1) 2的立方根是1解析：因为 8，而 2 的立方等于 8，所以 的立方根是 2，即 A 正确，解答时不64 64要把“求 的立方根”误解为 “求 64 的立方根” ；因为3 的立方是27，所以3 是 2764的立方根是错误的；因为 的立方是 ，所以 的立方根是 ，因此 C 是
14、错误的；因为56 125216 125216 56(1) 21，它的立方根是 1，而不是1，所以 D 是错误的故本题选 A答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根7用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零(2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知， 3 a，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再3a取它的相反数即可(3)当两个数相等时，这两个
15、数的立方根相等反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数【例 71】已知 2x1 和 x11 是一个数的平方根，求这个数分析：因为 2x1 和 x11 是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知 2x1 和x11 相等或互为相反数当 2x1 和 x11 相等时，可列出方程 2x1 x11，当2x1 和 x11 互为相反数时，可列出方程 2x1 x110，从而求出 x 的值，进一步可求出这个数解：根据平方根的定义，可知 2x1 和 x11 相等或互为相反数当 2x1
16、x11 时， x10，所以 2x121，这时所求的数为(21) 2441；当 2x1 x110 时， x4，所以 2x17，这时所求的数为 7249综上可知，所求的数为 49 或 441【例 72】若 ，求 a2 012的值32a 1 35a 8分析：根据立方根的唯一性和 ，可知 2a1 与 5a8 互为相反数，从而可3 a 3a构造出关于 a 的一元一次方程 2a1(5 a8)进一步可求出 a2 012的值解：因为 ，所以 ，即 2a1(5 a8)解32a 1 35a 8 32a 1 3 5a 8得 a1故 a2 012(1) 2 01218非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要
17、有：(1)绝对值| a|0；(2)平方 a20；(3)算术平方根 具有双重非负性：a 本身具有非负性，即 0；a a算术平方根 的被开方数具有非负性，即 a0.a非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于 0 的形式此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题| |( ) 20，| | 0，( ) 2 0
18、 ，甚至同一道题目中出现这三个内容| |( ) 2 0 ；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算【例 81】如果 y 2，则 4x y 的平方根是_2x 1 1 2x解析：因为 2x10 且 12 x0，所以 2x112 x0，即 x .于是12y 22因此 4x y4 24故 4x y 的平方根为22x 1 1 2x12答案：2【例 82】如果 y 2 012 成立，求 x2 y3 的值x2 4 4 x2x 2分析：由算术平方根被开方数的非负性知 x240,4 x20，因此，只有 x240，即 x2；又 x20，即 x2
19、，所以 x2， y2 012，于是得解解：由题意可知 x240 且 4 x20，因此 x240，即 x2又 x20，即 x2， x2， y2 012故 x2 y32 22 01232 013【例 83】已知 ( b2) 20，求( a b)2 012的值a 1分析： 表示 a1 的算术平方根，所以 为非负数因为( b2) 2为偶次幂，a 1 a 1所以( b2) 2为非负数由于两个正数相加不能为 0，所以这两项都为 0，因此解方程求值即可解：因为 0，( b2) 20，且 ( b2) 20，所以 0，( b2)a 1 a 1 a 120，解得 a1， b2故( a b)2 012(12) 2
20、01219利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动 2 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动 1 位即当被开方数扩大(或缩小)100 倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10 倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000 倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100 倍.(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动 3 位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动 1 位即当被开方数扩大(或缩小)1 00
21、0 倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10 倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000 倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100 倍.(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索【例 9】(1)观察下列各式：2 ， 3 ， 4 ，请你将发现的规律用含自然数 n(n1)1 13 13 2 14 14 3 15 15的等式表示出来_(2)借助计算器可以求出 ， ， ，观察上述各式特点，42 32 442 332 4442 3332猜想： _.24nn 个 个解析：(1)第一个等式右边的 2 比左边被开方数里的 1 大 1，被开方数 与左边被开方13数的 相同且 3 比 2 大 1；第二个等式右边
22、的 3 比左边被开方数里的 2 大 1，被开方数 与左13 14边被开方数 相同且 4 比 3 大 1，故有 ( n1) (n1)14 n 1n 2 1n 2(2)借助计算器，可以分别求得5， 55， 555，由此观察发现每个式子的结果都42 32 442 332 4442 3332是由若干个 5 组成的，且 5 的个数为相应式子的左边 4 或 3 的个数决定，故猜想.=nnn 个 个 个答案：(1) ( n1) (n1)n 1n 2 1n 2(2)5n个10平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方
23、体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可注意求出的结果要符合实际问题的实际意义【例 101】计划用 100 块地板砖来铺设面积为 16 m2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长解：设地板砖的边长为 x m，根据题意，得 100x216，即 x20.16，所以 x 0.40.16由于长度不能为负数，所以 x0.4(m)故地板砖的边长为 0.4 m.【例 102】一种形状为正方体的玩具名为“魔方” ，(每个面由 9 个小正方体面组成)体积为 216 cm3，求组成它的每个小正方体的棱长解：设小正方体的棱长为 a cm，则玩具的棱长为 3a cm，由题意得(3 a)3216于是27a3216， a38， a2(cm)故每个小正方体的棱长为 2 cm.
