1、互动课堂疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数 与 a 的积是一个向量，记作 a，它的长|a|=|a|. 它的方向是这样定义的：当a0 时.0，a 与 a 同向； 0,a 与 a 反向；当 =0 或 a=0 时，0a=0 或 0=0.(2)根据向量数乘的定义.a 与 a 为共线向量，两者方向相同或相反， （a0,0）在此前提下，a 可以理解为把 a 的长度扩大（|1）或缩小（|1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.（3）几点说明a 中的实数 ,叫做向量 a 的系数，此系数决定着 a 与 a 的模的关系及方向相同或相反.向量数乘的特
2、殊情况：当 =0 时，a=0，而当 a=0 时，a=0.实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如 +a,-a 根本无意义.2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设 ,u 为实数，则(1)（+u）a=a+u a,(2)(ua)=(u)a，(3)(a+b )=a+ub(分配律).疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（+u）a=a+ua 和 (a+b)=a+ub.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.3.向量的线性运算向量的加
3、法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例 1 （1）计算下列各式：2(a+b)-3(a-b);3(a-2b+c)-（2c +b-a）; （ a-b）- （2a+4b）+ （2a+13b）.5315（2）设 x、y 是未知向量解方程组 .21,byx【探究】要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程类似合并同类项.（2）是解关于未知向量的方程或方程组.它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解】 （1）2（a+b）-3 （a- b）=2a+2b-
4、3 a+3b=-a+5b.3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c. (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b)5315= a- b- a- b+ a+ b52341526=( - + )a+(- - + )b=0a+0b=0.(2)把第 1 个方程的-2 倍与第 2 个方程相加，得 y=-2a+b，从而 y=- a+ b,代入原来第233422 个方程得 x=- a+ b.34 .324.bayx规律总结 向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题利用向量数乘的定
5、义或运算律可以解决一些几何问题，例如在探求线段相等、三角形相似等问题上.案例 2 如图，在ABC 中，M、N 分别是 AB、AC 的中点，求证 MNBC，且 MN= BC.21【探究】把平面问题转化为向量问题解决非常方便，本题只需证明 = .MN21BC【证明】M 、 N 分别是 、 的中点，ABC = -21= （ - ）= .21AC ，且| |= | |，NBBC即 MNBC，且 MN= BC.21规律总结 利用平面向量的知识证明平面几何问题，这是向量的一个重要应用，但应注意向量与线段是不同的，它既有大小，又有方向.活学巧用【例 1】 已知 a、b 为两非零向量，试判断下列说法的正误，并
6、说明理由.（1）2a 与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 模的两倍；（2）-2a 与 5a 的方向相反，且 -2a 的模是 5a 的模的 倍；2（3）-2a 与 2a 是一对相反向量 .（4）a-b 与- （b -a）是一对相反向量 .分析:本题主要考查向量数乘的定义，在定义中一定要注意 a 与 a 方向及模的关系.解：（1）正确，20,2a 与 a 的方向相同，又|2 a|=2|a|，（ 1）的说法正确.（2）正确，50，5a 与 a 方向相同，且|5 a|=5|a|，而-20，-2a 与 a 的方向相反，且|-2a |=2|a|，5a 与-2a 的方向相反，且-2a 是 5a 模的
7、.故（2）的说法正确.（3）正确，按照相反向量的定义可以判断.（4）错误，因为-（b -a）与 b-a 是一对相反向量，而 a-b 与 b-a 是一对相反向量，故 a-b与-（b-a）为相等向量.【例 2】已知 m、n 为非零实数， a、b 为非零向量，则下列命题正确的个数为（ ）m(a-b)=ma-mb；(m-n)a=ma-na； ma=mb,则 a=b；若 ma=na,则m=n.A.4B.3C.2D.1分析：完成本题要理解领会向量数乘的运算律.解：分别是向量数乘运算律中的分配律，因此正确；由于 m0，故 ma=mb,能推出a=b，正确；由于 a0,故 ma=na 可得 m=n， 正确.答案
8、：A【例 3】计算下列各式：（1）3（2a-b） -2（4a-3b ） ；（2） （4a+3b ）- （3a- b）- b；21（3）2（3a-4b +c）-3（2a+b-3 c）.分析：在计算过程中，要利用数乘向量的分配律，且在计算过程中要注意“合并同类项”的应用.解：（1）3（2a-b ）-2（4a-3b ）=6a-3b-8a+6b=-2a+3b.（2） （4a+3b ）- （3a- b）- b21= a+b- a+ b- b3=（ ）a+（1+ - ）b= a.6（3）2（3a-4b +c）-3（2a+b-3 c）=6a-8b+2c-6a-3b+9c=（6-6）a-（8+3）b +（2+
9、9）c =-11b+11c.【例 4】已知 a、b 不共线，（1）实数 x、y 满足等式 3xa+（10-y ）b=（4y+7）a+2xb,则求出 x、y 值；（2）把满足 3x-2y=a，-4x+3y=b 的向量 x、y 用 a、b 表示出来.分析:由于 a、b 不共线，故（1）式成立时，须满足等式左右 a、b 的系数相等，即3x=4y+7，10-y=2x，解方程组即得 x、y.第（2）题实际上是解两个向量方程构成的方程组，其中 x、y 为未知向量，a、b 为已知向量.解：（1）a、b 为不共线向量，要使等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb 成立，则有 解得.210,743xy
10、.16,47y(2) )(.34,byxa4+3，得 y=4a+3b.再将 代入中;得 x=3a+2b.34,2yx【例 5】 用向量证明：梯形中位线平行于两底且等于上、下两底和的一半.已知：如右图，梯形 ABCD 中，E、F 是两腰 AD、BC 的中点，求证： EFCDAB 且 EF=（AB+CD）.21分析:用向量证明,只需证明 且| |= （| |+| |）.CDABF21ABCD证明:E 、F 分别是 、 的中点，A =- ， =- ，DB即 = + + ， = + + ，EFDCF = ( + + + + + )= ( + )EF21A21ABD又 ，设 = .BDC = （ + ）= .21C .又E、F 、D、C 四点不共线,EFDC，同理 .AB| |= （| |+| |）.EF21ABDCEF= （AB+DC）.
