1、疱丁巧解牛知识巧学1.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数由初中所学可知锐角的三角函数是通过直角三角形定义的.但角的概念推广以后，用直角三角形定义一个角的三角函数就有了一定的局限性.在上一节的学习中我们在直角坐标系中研究了任意角.同样，我们也可以在直角坐标系中定义任意角的三角函数.联想发散 初中学习的锐角三角函数是用直角三角形边的比值来定义的，受直角三角形的约束，不能类似地定义任意角的三角函数.如果建立平面直角坐标系，就可用角的终边上点的坐标来定义任意角的三角函数，以进一步研究它的性质.对于一个任意角 ，让其顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在 的终边上任取(异于原点的)一点 P
2、(x,y).记 P 到原点的距离为 r，则 P 与原点的距离 r=(如图 1-2-2).0| 22yxyx图 1-2-2当 为锐角时，过 P 作 PMx 轴于 M，则三角形 OMP 为直角三角形，则由锐角三角函数的定义可得sin= ，cos= ，tan= .此定义与初中所学的三角函数的定义实质相同.ryxy一般地，对任意 我们规定：比值 叫做 的正弦,记作 sin，即 sin= ；ry比值 叫做 的余弦,记作 cos，即 cos= ；rxx比值 叫做 的正切,记作 tan，即 tan= .yy此外，比值 叫做 的余切，记作 cot= ；比值 叫做 的正割，记作 sec= ；xxrxr比值 叫做
3、 的余割，记作 csc= .由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角 ,yryr比值 和 都是唯一确定的，因此正弦和余弦都是角 的函数.当 = +k,kZ 时，角 rx 2的终边与 和- 的终边相同 ,都落在 y 轴上，此时 P 点的横坐标 x 为 0，比值 无意义，2 xy即此时 tan 无意义，除此之外，对于确定的角 ( +k,kZ),比值 也是唯一确定的，2所以正切也是角 的函数.正弦函数、余弦函数和正切函数都称为三角函数.联想发散 函数是由定义域、值域、对应法则三部分构成的，三角函数的自变量是角，比值是函数值， “求正弦”“求余弦”“求正切”等是对应法则.深化升华 对于任意角的三角
4、函数应注意以下几点：角是“任意角” ，当 =2k+(kZ)时， 与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.三角函数是以“比值” 为函数值的函数；三角函数的值的大小仅与角有关，而与终边上所取的 P 点的位置无关，即对于确定的角 ，这些比值都不会随点 P 在角 的终边上的位置的改变而改变.r0，但 x、y 的正负却随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定( 今后将专门研究).误区警示 sin、cos、tan 等三角函数的记法表示一个整体，离开自变量 的sin、cos、tan 等都是没有意义的.例如 sin 并不表示“
5、sin” 与“”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“f” 与“x”的乘积一样，sin 是一个比值，如 sin ，它表示 的正弦值，即 sin = .同6621理，cos、tan 的意义也是一样的.(2)三角函数值的符号由初中所学过的知识我们知道锐角的三角函数均为正值，现在我们把锐角扩充为任意角，并且用坐标定义了任意角的三角函数，则任意角的三角函数的符号又是怎样的呢？要回答这个问题，这就用到了三角函数的定义：sin= ；cos= ；tan= .ryxy由于 r 为正值，则角 的正弦值的符号与 y 的符号相同；角 的余弦值的符号与 x 的符号相同；角 的正切值的符号取决于 x、y 的符号，当 x、
6、y 相同时正切值为正值，当x、y 符号相异时正切值为负值.所以，当角的终边在第一象限时，由于角 终边上点的坐标均为正值，故角 的三角函数为正值；当角的终边在第二象限时，由于角 终边上点的纵坐标为正值，横坐标为负值，则角的正弦值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第三象限时，由于角 终边上点的坐标均为负值，则角的正切值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第四象限时，由于角 终边上点的横坐标为正值，纵坐标为负值，则角的余弦值为正值，其他的三角函数值为负值.学法一得 三角函数的符号是由角终边所在象限所确定的，要想掌握三角函数的符号，应掌握各象限中的点及坐标轴上点坐标的特点.记忆要诀
7、综合三角函数值在各象限的符号，从取正号方面来看，可记忆为：“ 一全正，二正弦，三正切，四余弦”,即“ 一全正” 是指在第一象限的各三角函数值均为正； “二正弦” 指的是在第二象限只有正弦值为正值；“三正切”指的是在第三象限只有正切值为正值；“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值为正值.2.有向线段与三角函数线(1)有向线段规定了方向(即规定了起点和终点 )的线段称为有向线段 .类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线，例如数轴就是有向直线.当有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l 平行时，根据有向线段 AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号所得的数叫做
8、有向线段的数量，记为AB，为了区分有向线段和它的数量，一般在有向线段前加上“有向线段”.误区警示 有向线段 AB 书写时不能写成 BA，这种写法是错误的.这是因为在书写有向线段时，一定要将起点写在前而终点写在后.深化升华 当有向线段的方向与有向直线的方向相同时，有向线段的数量为正数；当有向线段的方向与有向直线的方法相反时，有向线段的数量为负数.(2)三角函数线设任意角 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，由于角 的三角函数值与点P 在角终边上的位置无关，所以为了简单起见，取 r=1，即选取角 的终边与单位圆(圆心在原点 O，半径等于单位长度的圆 )的交点为 P 点，则 sin=y，co
9、s=x.如图 1-2-3，过 P(x,y)作PM x 轴于 M，图 1-2-3又不难得出有向线段 OM、OP 的长度分别为|x|、|y|.若 x0，则 OM 看作与 x 轴同向，OM 具有正值 x；若 x0，OM 看作与 x 轴反向，OM 具有负值 x，所以总有 OM=x，同理,有 MP=y，所以有 sin=MP,cos=OM.则有向线段 MP、OM 分别叫做角 的正弦线和余弦线.过点 A(1,0)作单位圆切线，与 角的终边( 角的终边在第一或第四象限如图 1-2-3 中)或其反向延长线(角的终边在第二、三象限，如图 1-2-3 中)交于 T(1，y)，则当角的终边在 y 轴的右侧时,tan=
10、 =y；当角的终边在 y 轴的左侧时，T(-1，-y) 在角的终边上，1y此时 tan= =y.又有向线段 AT 的长度为|y| ，当 y0 时，有向线段 AT 与 y 轴方向相1同，此时有 y=AT;当 y0 时，有向线段 AT 与 y 轴方向相反，此时有 y=AT，所以 tan=y=AT.我们把有向线段 AT 叫做角 的正切线.y有向线段 MP、OM、AT 统称为三角函数线.误区警示 书写正弦线时，一定要注意不能写成 PM，而应写成 MP.这是因为三角函数线为有向线段，当线段中含有原点时，原点为起点；当线段中不含原点时，垂足为起点，对于正切线应注意其起点坐标始终是(1，0).当角 的终边在
11、 x 轴上时，正弦线和正切线分别变成一个点；当角 的终边在 y 轴上时，余弦线变为一个点，而正切线不存在.辨析比较 三角函数线都是有向线段，当它们的方向与坐标轴的方向相同时，对应的三角函数值为正值；当它们的方向与坐标轴的方向相反时，对应的三角函数值为负值.正弦线的起点在 x 轴上，且与 y 轴平行，余弦线的起点是原点，它在 x 轴上，正切线的起点为(1，0) ，它与 y 轴平行.学法一得 学习三角函数线，应从它的方向和它与坐标轴的位置关系入手.由于角的集合和实数的集合之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，在弧度制下三角函数的定义域如下：y=sin Ry=cos
12、 Ry=tan |k+ (kZ)2利用三角函数线，我们可以比较两个角同名三角函数值的大小、求已知三角函数值所对应的角、解简单的三角不等式、求三角函数的定义域等.同时它也是学习三角函数的图象和性质的基础.深化升华 正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义，是从“形”的方面研究三角函数，直观、形象.3.同角三角函数关系(1)公式的推导方法一：设角 终边与单位圆交于点 P，则 P 点的坐标为(cos,sin)，又由 OP 的长度为 1 不难得出 sin2+cos2=1；由正切函数的定义,可知当 +k,kZ 时，有 tan= .cosin方法二：由于 sin= ,cos= ,
13、tan= ,cot= ,ryxyx当 k+ (kZ)时,有 = = =tan；2cosinrx又 x2+y2=r2，所以 sin2+cos2=( )2+( )2= = =1.ry2ry由上我们可得以下公式：sin2+cos2=1,tan= .cosin(2)公式的变形如：sin 2+cos2=1 可变形为 sin2=1-cos2、sin= ( 为第一、二象限角取2cos1正号; 为第三、四象限角时取负号)等.=tan 可变形为 sin=tancos、cos= 等.cosin tansi深化升华 对于同角三角函数关系应注意：“同角”的概念与角的表达形式无关,它可以是正角、负角和零角，也可以是具体
14、的角，还可以是字母或代数式.如：sin 23+cos23=1， =tan 等，均成立.cosin2上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内才能成立 .据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两个解的情况，因此应尽可能少用(实际上，至多只用一次).误区警示 对于同角三角函数基本关系式应以“ 同角”为大前提，比如 sin2+cos2=1 就不一定成立了，这是因为等式中的两个角不相同.此外等式 tan = 也不成立，这是因为2cosintan 不存在，因此，同角三角函数基本关系式必须在使三角函数有意义的范围内使用.2(3)公式
15、的应用利用同角三角函数关系：sin 2+cos2=1，tan= ，我们可以求值即已知一个cosin三角函数值求该角的其他三角函数值；化简含有三角函数的式子和证明三角恒等式.求值利用同角三角函数基本关系式求值常见的有三种类型：1)已知角 的某一三角函数值及角 所在的象限，求角 的其他三角函数值.事实上，如果已知角 的某一三角函数值及角 所在的象限，那么角 就是确定的， 的其他三角函数值也就随之确定了.解此类题的难点是如何根据角 终边所在的象限求出它的其他三角函数值，其突破点是正确运用平方根及象限角的概念.2)已知角 的某一三角函数值，但不知角 终边所在的象限，求角 的其他的三角函数值.事实上，如
16、果已知角 的某一三角函数值，但不知角 终边所在的象限，那么角 的终边位置一般有两个.解此类题的难点是如何根据角的三角函数值确定角的终边位置，进而求出其他的三角函数值,其突破点还是正确运用平方根及象限角的概念.3)已知角 的某一三角函数值是用字母给出的，且没有指定角 所在的象限，求角 的其他三角函数值.解此类题的一般步骤是：首先对字母分类；其次在各类中按第(2)类中的解法解题.误区警示 已知角 的某一三角函数值，求角 的其他三角函数值时，极易产生遗漏，比如已知 sin= ，在求 cos 的值时，极易得出 cos= 这一错误结论 .产生遗漏的原因：一是5354没有确定好或不去确定角 终边的位置；二
17、是利用平方关系时，漏掉了负的平方根.化简化简实际上是一种没有指定答案的恒等变形，但要尽量把结果化成最简形式.化简的思路是：尽可能地化为同类三角函数后再化简.对于三角函数式的化简结果应满足下述要求：函数的种类尽可能地少；次数尽可能地低；尽可能地化为积的形式；尽可能地不含三角函数；尽可能地将根号内的式子移到根号外.利用同角三角函数的关系式证明三角恒等式证明恒等式的过程实质上就是通过分析、转化和消去等式两边的差异来促成两边统一的一个过程.常见的证明方法有：1)从等式的一边开始，证明它等于另一边；2)先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；3)证明左、右两边都等于同一个式子；4)比较的方法证
18、明三角恒等式,即证明两边差为零或商为 1.4.三角函数的诱导公式(1)三角函数诱导公式由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有sin(2k+)=sin,kZ,cos(2k+)=cos,kZ,tan(2k+)=tan,kZ,我们称此组公式为公式一，此外这组公式也可以记为sin(360k+)=sin,kZ,cos(360k+)=cos,kZ,tan(360k+)=tan,kZ.公式一的作用是可以将任意角的三角函数转化为 0360范围内的角的三角函数.若角 的终与角 的终边关于 x 轴对称(如图 1-2-4)，设角 、 的终边与单位圆交于P、P两点，则点 P 和 P也关于 x 轴
19、对称，又根据三角函数的定义，点 P 的坐标为(cos,sin)，点 P的坐标为(cos,sin)，故有图 1-2-4sin=-sin,cos=cos.又- 与 的终边关于 x 轴对称，故有sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,我们称此组公式为公式二.由此公式，我们可知正弦函数和正切函数是奇函数，而余弦函数是偶函数.联想发散 由诱导公式二的推导过程,可知正弦、余弦函数的图象分别关于原点和 y 轴对称.这个性质就是我们后面所讲的正弦函数和余弦函数的奇偶性.公式二的作用是将负角的三角函数转化为正角的三角函数.若角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称(如图 1-2-5)
20、，设角 、 的终边与单位圆交于 P、P 两点，则点 P 和 P也关于 y 轴对称，又根据三角函数的定义，点 P 的坐标为(cos,sin)，点 P的坐标为(cos,sin)，故有图 1-2-5sin=sin,cos=-cos.又角 - 与 的终边关于 y 轴对称，故有sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan,我们称此组公式为公式三，此外这组公式也可以记为sin(180-)=sin,cos(180-)=-cos,tan(180-)=-tan,公式三的作用是将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.若角 的终边与角 的终边关于原点对称(如图 1-2-6)，设角
21、、 的终边与单位圆交于 P、P 两点，则点 P 和 P也关于原点对称，又根据三角函数的定义，点 P 的坐标为(cos,sin)，点 P的坐标为(cos,sin)，故有图 1-2-6sin=-sin,cos=-cos.又角 + 与 的终边关于原点对称，故有sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,我们称此组公式为公式四，此外这组公式也可以记为sin(180+)=-sin,cos(180+)=-cos,tan(180+)=tan,公式四的作用是将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.记忆要诀 对上面四组诱导公式，可简记为“函数名不变，符号看象限 ”.具体方法如
22、下:此四组诱导公式不改变函数的名称,在判断符号时,将 视为锐角,然后确定 k360(k Z)，-，180 的终边位置 ,利用它们的终边位置来确定符号 .比如 sin(180-)与 sin 的关系,若将 视为锐角,则 180- 是第二象限,正弦值为正值,则有 sin(180-)=sin.若角 的终边与角 的终边关于直线 y=x 对称(如图 1-2-7)，设角 、 的终边与单位圆交于 P、P 两点，则点 P 和 P也关于直线 y=x 对称，又根据三角函数的定义，点 P 的坐标为(cos,sin)，点 P的坐标为(cos,sin)，故有图 1-2-7sin=cos,cos=sin.又角 - 与 的终
23、边关于 y 轴对称，故有2sin( -)=cos,cos( -)=sin.2我们称此组公式为公式五，此外这组公式也可以记为sin(90-)=cos,cos(90-)=sin.又 sin( +)=sin -(-)=cos(-)=cos,2cos( +)=cos -(-)=sin(-)=-sin.故有 sin( +)=cos,cos( +)=-sin,2我们称此组公式为公式六，此外这组公式也可以记为sin(90+)=cos,cos(90+)=-sin.以上六组公式我们称它们为三角函数的诱导公式.记忆要诀 对上面两组诱导公式，可简记为“函数名称变互余，符号看象限 ”.具体方法如下:这两组诱导公式改变
24、函数的名称,在判断符号时,将 视为锐角,然后确定 90 的终边位置,利用它们的终边位置来确定符号.比如 sin(90-)与 cos 的关系 ,若将 视为锐角,则 90- 是第一象限,余弦值为正值,则有 sin(90-)=cos.深化升华 上面六组诱导公式可归纳为 k90(kZ)的三角函数值与 三角函数值之间的关系，当 k 为偶数时得角 的同名三角函数值，当 k 为奇数时得角 的异名三角函数值.然后在前面加上一个把角 看成锐角时原三角函数值的符号.可简记为“奇变偶不变，符号看象限”.辨析比较 诱导公式所揭示的是终边具有对称关系的两个角的三角函数之间的关系.它实现了不同角的三角函数之间的转化，而同
25、角三角函数关系式所揭示的是同角的三角函数之间的关系，实现的则是同角的三角函数名称之间的转化.对于诱导公式应注意：公式中的角 为任意角，它可以是正角、负角和零角，也可以是具体的角，还可以是字母或代数式.(2)诱导公式的作用与应用诱导公式的作用在于化任意角的三角函数为 090范围内的角的三角函数.其步骤为：将任意角的三角函数化为相应正角的三角函数，再化为 0360范围内角的三角函数，进而化为锐角的三角函数.这一转化过程充分体现了将未知化为已知的化归思想.记忆要诀 上述步骤可简记为“负化正，大化小，最后化锐角”.利用诱导公式，我们可以处理三角函数的求值、化简和证明的有关问题.典题热题知识点 1 任意
26、角的三角函数例 1 (1)已知角 的终边经过点 P(7m,-24m)(m0)，求 sin+cos 的值.(2)已知角 的终边经过 P(4a,-3a)(a0),求 2sin+cos 的值.思路分析：本题主要利用三角函数的定义.(1)中点位置确定，则可先设出一点，求出点到原点的距离，然后利用定义求解即可；(2)中点的坐标中含参数，则需分类讨论 .解：(1)由定义及已知可得 r= =-25m，22)4()7m所以 sin= = ,cos= = .m254257所以 sin+cos= .7(2)由于 r= =5|a|.22)3()4a若 a0,r=5a,则 sin= =- ,cos= = ,2sin+
27、cos= .ry5rx452若 a0,r=-5a,则 sin= = ,cos= =- ,2sin+cos= .52方法归纳 如果角 的终边上一点的坐标已经确定，则可根据三角函数的定义求其三角函数值.若点坐标中含有参数时，可根据具体情况来决定是否进行分类讨论.例 2 已知点 P(x,3)在角 的终边上，且 sin= ，求 tan.53思路分析：由三角函数的定义可以通过 sin= 得到点 P 的横坐标，从而再用 tan= 求出xytan 的值 .解：由于 r= ，则有 sin= = ，由此可得 x=4.9322xx5392x所以 tan= = = .xy4方法归纳 本题的关键是根据角 的正弦列出方
28、程，从而根据三角函数的定义来求角的正切值.例 3 已知 是第三象限角且 cos 0，问 是第几象限角？2思路分析：解题的关键是将角 的范围表示出来，进而表示出 的范围，再根据2cos 0 来确定 的终边位置 .2解：由于 是第三象限角，则有(2k+1)(2k+1)+ (kZ),2k+ k+ (kZ)，则 是第二或第四象限角.243又cos 0，则 是第二或第三象限角 . 必为第二象限角.方法归纳 已知角的范围可知其三角函数的符号，反过来，已知一个角的三角函数的符号，我们也可以判断出其大致范围.深化升华 当角的正弦值为正值，则角的终边在第一、二象限或 y 轴的正半轴上，当角的正弦值为负值，则角的
29、终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；当角的余弦值为正值，则角的终边在第一、四象限或 x 轴的正半轴上，当角的余弦值为负值，则角的终边在第二、三象限或 x 轴的负半轴上；当角的正切值为正值，则角的终边在第一、三象限，当角的正切值为负值，则角的终边在第二、四象限.知识点 2 有向线段与三角函数线例 4 分别作出 和- 的正弦线、余弦线和正切线34思路分析：利用单位圆中三角函数线的作法作图解：(1)在直角坐标系中作单位圆,如图 1-2-8,以 Ox 轴为始边作 角,角的终边与单位圆交32于点 P,作 PMOx 轴,垂足为 M,由单位圆与 Ox 轴正方向的交点 A 作 Ox 轴的垂线与 OP 的反
30、向延长线交于 T 点,则 sin =MP,cos =OM,tan =AT,即 的正弦线为有向线段32MP,余弦线为有向线段 OM,正切线为有向线段 AT图 1-2-8(2)同理可作出- 的正弦线、余弦线和正切线 ,如图 1-2-9.43sin(- )=M1P1,cos(- )=O1M1,tan(- )=A1T1,即- 的正弦线为有向线段 M1P1,余弦线4343为有向线段 O1M1,正切线为有向线段 A1T1图 1-2-9方法归纳 三角函数线是单位圆中的有向线段，在作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.正弦线的起点在 x 轴上且与 y 轴平行，余弦线在 x 轴上，以原点为起点，正切线的起点为(1，0)且与 y 轴平行，这就是画三角函数线的主要依据 .例 5 已知 sin= ，求出角 的终边，然后求出角 的取值集合 .21思路分析：可利用单位圆中的有向线段三角函数线求角的取值集合.解：如图 1-2-10，已知角 的正弦值为 ，可知 MP= ，则 P 点的纵坐标为 ，所以在212121
