1、教学设计本章复习整 体 设 计知识网络 教学分析 三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变
2、形的思路在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的
3、渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用三维目标 1通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题2掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题3通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物
4、之间是相互依存、互相联系的学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志重点难点 教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用课时安排 2 课时教 学 过 程第 1 课时导入新课 思路 1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第 3 章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习思路 2.(问题导入)
5、本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习推进新课 Error!让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系学习了三角变换
6、的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力本章的公式关系见下表：和差正、余弦公式 和差正切公式 二倍角公式 万能公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintan()tan tan1 tantantan()tan tan1 tantansin2 2sincoscos2cos 2sin 22cos 2112sin 2设 tan t2sin2t1 t2cos1 t21 t2tan2t1 t2教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点
7、，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如 tantantan()(1 tantan) ，tantan1 ，1tantan ，tan ta
8、ntan tan tantan 1cos22cos 2，1cos22sin 2 等(2)角的变换，如 ( ) ；2 ()()； ( )； ( )等4 2 4 6 2 3还需熟练掌握一些常见的式子：如：sinxcosx sin(x )，sinx cosx2sin(x )等24 3 3对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明(1)无条件恒等式的证明，需认
9、真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法Error!思路 1例 1(1)化简 tan2Atan(30A)tan2Atan(60A)tan(30A)tan(60A)；(2)已知 为锐角，且 tan ，求 的值12 sin2cos sinsin2cos2活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属
10、于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式比如在本例的(1)中
11、，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬解：(1)tan(902A)tan(30A)(60A) ，tan30 A tan60 A1 tan30 Atan60 Atan(3
12、0 A) tan(60A) tan(902A)1 tan(30 A)tan(60 A) 原式tan2Atan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)tan2Atan(902A)1 tan(30A)tan(60A)tan(30 A)tan(60 A)1tan(30 A)tan(60A)tan(30A)tan(60A) 1.(2)原式 .tan ，又2sincoscos sin2sincoscos2 sin2cos2 12sincoscos2 cos22coscos2 12cos 12(0， )，即 2sincos ， 又由 sin2cos 21，cos . .2 25 sin2
13、cos sinsin2cos2 54点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法例 2 已知 、(0 ， )，且 3sinsin(2 )，4tan 1tan 2 ，求 的值4 2 2活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的
14、函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：把所求角用含已知角的式子表示；由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质解：3sin()sin()，3sin( )cos 3cos( )sinsin( )coscos( )sin，sin( )cos2cos()sin，、 (0， )，0 .cos( )0，cos0.tan()2tan.4 2由 4tan 1
15、tan 2 ，得 1，即得 2tan1.2 24tan21 tan22代入 tan()2tan ，得 tan()1.又 0 ， .2 4点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角思路 2例题 已知 ( ，) ，2cos 2sincossin 20，求 tan 和 sin(2 )的值2 3活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中
16、体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨解：2cos 2sincossin 20，cos0.上式两边同除以 cos2，得 tan2tan 20.解得 tan2. ( ，)，舍去 tan12sin(2 )sin2cos cos2sin sincos (2cos21)3 3 3 32 .sincos 3cos2sin2 cos2 32 tan 3tan2 1 32 4 3
17、310点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组Error!解得 sin、cos 的值，再代入得解，也是一种不错的思路.变式训练已知函数 f(x)sin 2x2sinxcosx3cos 2x，xR，求：(1)函数 f(x)的最大值及取得最大值时自变量 x 的取值集合；(2)函数 f(x)的单调增区间解：(1)方法一：f(x) sin2x1 cos2x2 31 cos2x22sin2xcos2x2 sin(2x )，24当 2x 2k ，即 xk (kZ)时，f(x)取得最大值 2 .4 2 8 2因此，f(x) 取得最大值时自变量 x 的取值集合是x|xk ，kZ8
18、方法二：f(x)(sin 2xcos 2x)sin2x2cos 2x1sin2x1cos2x2 sin(2x )，24当 2x 2k ，即 xk (kZ)时，f(x)取得最大值 2 .4 2 8 2因此，f(x) 取得最大值时自变量 x 的取值集合是x|xk ，kZ8(2)f(x)2 sin(2x )，24由题意，得 2k 2x 2k (kZ)，即 k xk (kZ)2 4 2 38 8因此，f(x) 的单调增区间是 k ，k (kZ ).38 8Error!课本复习题 14.Error!课本复习题 5、6、7.Error!1先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉
19、及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法2教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题设 计 感 想1本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他
20、们分析问题、解决问题的能力2本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点3三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套备 课 资 料一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求
21、值、化简类型其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适
22、当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法在三角变换中，要自觉地运用
23、化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题二、备用习题1函数 ycos 4xsin 4x 的最小正周期是( )A. B 2C2 D42函数 y 的最大值是( )12 sinx cosxA. 1 B. 1 22 22C1 D122 223若 ( ， )，sin2 ，则 cossin 的值为( )4 2 116A. B 34 34C D.154 1544函数 y2sinx(sinxcosx)的单调递减区间是( )A2k ，2k ，kZ B2k ，2k ，8 78 78 158kZCk ，k ，kZ Dk ，k ，kZ8 58 38 785求函数 y 的值域sin2
24、xcosx1 sinx6化简：f(x) cos2xcos 2(60x) cos 2(120x) 参考答案：1B 2.B 3.C 4.D5解：y 2sinx(1sinx)，sinx1，sin2xcosx1 sinx 2sinxcos2x1 sinx 2sinx1 sin2x1 sinxy2sin 2x2sinx2(sinx )2 .12 12令 tsinx，则 t1,1)，y2(t )2 .12 12当 t1,1)时，y ， 4)126解：f(x) 1 cos2x2 1 cos120 2x2 1 cos240 2x2 cos2xcos(602x)cos(240 2x)32 12 cos2x co
25、s2x sin2x cos2x sin2x32 12 12 32 12 32 .32(设计者：郑吉星)第 2 课时导入新课 思路 1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题思路 2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究， (1)不查表求 sin220cos 280 cos20cos80的值(2) 已知 ，cos() ，sin() ，求 sin2 的32 34 1213 35值学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课推进新课
