1、第 23 章知识升华一、知识网络二、典例分析1、分类讨论题例 1、在ABC 中，B 25，AD 是 BC 边上的高，并且 ，则BCA的度数为_.解析：（1）当高 AD 在ABC 内时，如图 1. ，又ADBCDA，ADBCDA ，BADACD.CADACD 90，CADBAD90.B25，BCA65.（2）当高 AD 在ABC 外时，如图 2.同理可证ADBCDA，ABDCAD 25，ACD 65，BCA180ACD115.说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.2、新定义图形题例 2 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形
2、.探究：（1）如图 3，已知ABC 中C90，你能把 ABC 分割成 2 个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由. 来源:gkstk.Com（2）一般地， “任意三角形都是自相似图形” ，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF（图 4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割（如图 4-1） ；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶分割（如图 4-2）依此规则操作下去.n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数） ，设此时小三角形的面
3、积为 .若DEF 的面积为 10000，当 n 为何值时， ？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当 n1 时，请写出一个反映 之间关系的等式（不必证明）.解析：（1）如图 5，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，CD 即是满足要求的分割线.理由：BB，CDBACB 90，BCDACB.（2）DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的个数为 ， . 当 时， ，当 n6 时， ，当 n7 时，.当 n6 时， . .说明：这道题的求解过程反映了标准所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.3、网格证明题
4、例 3 如图 6，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上.（1）填空：ABC_，BC_；（2）判断ABC 与DEF 是否相似，并证明你的结论.解析：（1）ABC135， ；（2）能判断ABC 与DEF 相似（或ABCDEF ） ，这是因为ABC DEF135， ，ABCDEF.说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.4、情景应用题例 4、如图 7 所示，某市经济开发区建有 B、C 、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且 A
5、BCD900米，ADBC 1700 米.自来水公司已经修好一条自来水主管道 AN，B 、C 两厂之间的公路与自来水管道交于 E 处，EC500 米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价 800 元.（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？ 解析：（1）过 B、C、D 分别作 AN 的垂线段 BH、CF、 DG，交 AN 于H、F、G，BH、CF 、DG 即为所求的造价最低的管道线路.如图 8 所示.来源:学优高考网 gkstk（2） （米） ， （米）.ABECFE，得
6、， （米） ，BHECFE，得 ， （米）.ABEDGA， ， （米）所以，B、C 、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是 （元） ，（元） ， （元）.说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.5、运动变化题例 5 如图 9，在一个长 40m、宽 30m 的长方形小操场上，王刚从 A 点出发，沿着ABC 的路线以 3m/s 的速度跑向 C 地.当他出发 4s 后，张华有东西需要交给他，就从A 地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距 B 地 的 D 处时，他和王
7、刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC 上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE 的长）？（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到 0.1m/s）？解析：（1）由阳光与影子的性质可知 DEAC，BDEBAC，BEDBCA BDEBAC， ，ABCDE ， )(32)(50432mBD， .)(40mAB)(310（2） ，王刚到 E 点的时间为 ，张华追赶王刚的速度是 .说明：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置.6、作图说理题例 6、小胖和小瘦去公园玩标准的跷
8、跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到 1 米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到 1 米 25，甚至更高！” （1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明.（2）你能否找出将小瘦翘到 1 米 25 高的方法？试说明.解析：（1）小胖的话不对.小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到 1 米高” ，情形如图10-1 所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最高高度 1 米，BC是地面. OPBC，ACBC，OBPABC，OBP ABC ， .又此跷跷板是标准跷跷板，BOOA， ，而 AC1 米，得 OP0.5 米.若将
9、两端同时都再伸长相同的长度，假设为 a 米（a0） ，如图 10-2 所示，BD a 米，AEa 米， ，即 DOOE. ，同理可得DOP DEF， ，由 OP0.5 米，得 EF1 米.综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架 OP 高度的两倍，所以不可能翘得更高.（2）方案一：保持 BO 长度不变，将 OA 延长一半至 E，即只将小瘦一边伸长一半 .使，则 .由BOP BEF ，得 ，EF1.25 米.方案二：如图 10-3 所示，只将支架升高 0.125 米. ，又 米， ， 米说明：本题为探究结论型开放题.第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比
10、是否变化.第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比.它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视.7、计算求值题例 7、 若 0234xyz，则 23xyz 解析：根据已知条件，可用设 k 法，把 x，y ，z 都用 k 表示，就可算出比值设x2k，y3k，z4k，则 413zk【说明】设 k 法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用 k 来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法8、 开放性问题例 8、如图 11，在 RTABC 中， C为直角， ABD于点 ，BC3，AB5
11、，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比 _图 11解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有ABCACDCBD)，如选ABCCBD，则 AB，BC 为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为 25：9 【说明】本题考查相似三角形的判定和性质图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系9、学科间综合题例 9、如图 12，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知ABBD ，CD BD，
12、且测得 AB12 米，BP18 米，PD12 米，那么该古城墙的高度是( )A6 米 B 8 米 C18 米 D24 米图 12解析：要求古城墙 CD 的高度，就要列出有关 CD 的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出ABPCDP，从而得 ，解得 CD8 米ABCDP【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合10、探究说理题例 10、在等边ABC 中，点 D 为 AC 上一点，连结 BD，直线 l 与 AB，BD，BC 分别相交于点 E，P ，F，且 BPF 60(1)如图 13-1，写出图中所有与BPF 相似
13、的三角形，并选择其中一对给予证明；(2)若直线 l向右平移到图 13-2、图 13-3 的位置时( 其它条件不变)，(1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明 )，若不成立，请说明理由；(3)探究：如图 13-1，当 BD 满足什么条件时(其它条件不变)， ？请写出探究12PFE结果，并说明理由(说明：结论中不得含有未标识的字母)解析：(1) (2)根据已知BPF60以及等边三角形中 60的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与BPF 相似的三角形；(3)探索 成立的条件，可考虑 30角所对的直角边12PFE与斜边的关系，故猜测 为 的平分线BDAC(1) ， 以 为例，证明如下：BP
14、FE BF BPF EBF60， ， (2)均成立，均为 ， F PD (3)当 平分 时， DA12E证明：BD 平分ABC，ABPPBF30BPF60，BFP90又B EF 60 3030ABP，BP EP 12PF 12PFE【说明】这是一个开放性问题, 既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，复习时要注意多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思11、方案设计题例 11、有一块直角三角形木板如图 14-1 所示，已知C 90，AB 5cm，BC 3cm，AC 4cm根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求
15、出这个正方形木板的边长解析：要在 RtABC 内裁出面积最大的正方形 DEFG，有两种可能的裁法，如图 14-2 和14-3，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在ABC 的边上)方案一：如图 14-2，作 CMAB 于 M， 交 DE 于 N设正方形边长为 xcm由图 14-1 图 14-2 图 14-3得, 12ABCABCMS 125ACBDEAB，CDE CAB ，即： NDEx6037方案二：如图 14-3，设正方形边长为 y cm EFAC， BFEBCA 即 x y ， 方案二裁出的正方形的面积BFECA4y1260735最大这时正方形的边长是 cm【说明】解决实际应用问题，探
16、究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的第 23 章章末测试题一、选择题：1、已知ABCDEF，且 AB：DE=12，则ABC 的面积与DEF 的面积之比为（ ）A.12 B.14 C.21 D.412、如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个3、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ）A
17、12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm4、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图 4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA=0.0015 米，则小明射击到的点 B偏离目标点 B 的长度 BB为 （ ）A3 米 B0.3 米 C0.03 米 D0.2 米5、如图，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2 cm2 B. 4 cm
18、2 C. 8 cm2 D. 16 cm26、在ABC 中，AB =12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则DEF 的周长为（ ）A9.5 B10.5 C11 D15.57、如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是ABC（ ）8、语句：“所有度数相等的角都相似；所有角相等的菱形都相似；所有的正方形都相似；所有的圆都相似”中准确的有（ ）A.4 句 B.3 句 C.2 句 D.1 句备用：1.如图，AB、CD 都是 BD 的垂线，AB=4 ，CD=6，BD=14，P 是 BD 上
19、一点，连结AP、CP，所得两个三角形相似，则 BP 的长是（ ）A.2 B.5.6 C.12 D.上述各值都有可能答案：D2.D、E 分别是ABC 中边 AB、AC 上的点，若 DEBC，且 ，则DBCEAES梯 形ADDB=（ ）A. 11 B.1 C. D. 2212答案：D二、填空题：9、如图，点 M 是ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形 1、 2、 3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49则ABC 的面积是 10、如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 CD 的中点，连结 AE、BD，交于点 O，如果已知ADE 的面积是 6，试写出能
20、求出的图形面积 （要求写出四个以上图形的面积）.11、有一张简易活动餐桌，现测得 OA=OB=30 ，OC=OD=50 ，现要求桌面离地面cmc的高度为 40 ，那么两条桌腿的张角COD 的大小应为 .cm12、阳光通过窗口 AB 照到房间里，在地上留下 3.2 米宽的亮区 ED，如图，已知亮区一边到窗下墙角的距离 CE=8 米，窗口高 AB=2 米，那么窗口底边离地面的高 BC= .13、下面这些三角形中，选出相似的三角形 14、如图，在ABC 中，P 是边 AB 上一点，连结 CP，使ACPABC 的条件是 15、如图，公园内有一个长 5 米的跷跷板 AB，当支点 O 在距离 A 端 2
21、米时，A 端的人可以将 B 端的人跷高 1.5 米，那么当支点 O 在 AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将 B端的人跷高 米16、将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B，折痕为 EF已知 ABAC3，BC 4，若以点 B，F，C 为顶点的三角形与 ABC 相似，那么 BF 的长度是 17、如图，在 88 的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出OAB 的一个位似图形，使两个图形以 O 为位似中心，且所画图形与OAB 的位似比_18、升旗仪式上，小明通过建立直角坐标系发现旗杆底端的位置在点 A（3，1）
22、 ，顶端在点B（3，10） ，升旗前旗的三个顶点的位置分别在点 P（3， 2） 、Q（3，3） 、R（5，2） ，写出当旗的顶端 Q 升到旗杆的顶部 B 处时，点 P 和点 R 对应点的坐标分别为 .三、解答题：19、如图，D 点是 的边 AC 上的一点，过 D 点画线段 DE，使点 E 在 的边上，ABC ABC并且点 D、点 E 和 的一个顶点组成的小三角形与 相似尽可能多地画出满足ABC条件的图形，并说明线段 DE 的画法20、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约 30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约 60 厘米，
23、求电线杆的高21、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=1，BC=8，AB=6，点 P 在高 AB 上滑动，当 AP 长为多少时，DAP 与PBC 相似，并说明你的理由22、如图，点 C、D 在线段 AB 上，且 PCD 是等边三角形 (1)当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，ACPPDB； (2)当 PDBACP 时，试求APB 的度数23、已知如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，点 Q 在线段 BC 上，设BQ ，是否存在这样的实数 ，使得 Q、C 、P 为顶点的三角形与ADP 相似，若kk存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.来源:学优高
24、考网 gkstk24、如图，有两个动点 分别从正方形 的两个顶点 同时出发，以相同速EF， ABCDBC，度分别沿边 和 移动，问：BCD（1）在 移动过程中， 与 的位置和大小有何关系？并给予证明，（2）若 和 相交点 ，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来AO25、如图：已知 A（0，2） ，B（2，1） ，C（3，2）.（1）求线段 AB、BC 、AC 的长.（2）把 A、B、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以 2，得到 A、B、C 的坐标,求AB、B C、AC的长 .（3）ABC 与AB C的形状相同吗？（4）ABC 与AB C是位似图形吗?若是,请指出位似中心和位似比26、已知：ABC
25、 中，AB=10 （1）如图，若点 D，E 分别是 AC，BC 边的中点，求 DE 的长；（2）如图，若点 A1，A 2把 AC 边三等分，过 A1，A 2作 AB 边的平行线，分别交 BC边于点B1，B 2，求 A1B1+A2B2的值；（3）如图，若点 A1，A 2，A 10把 AC 边十一等分，过各点作 AB 边的平行线，分别交BC 边于点 B1，B 2，B 10根据你所发现的规律，直接写出 A1B1+A2B2+A10B10的结果BA EDC B2B1A1A2BA C B10B3A3A10B2B1A1A2BA C27、如图，在水平桌面上的两个“” ，当点 ， ， 在一条直线上时，在点 处用
26、1P2OO号“”测得的视力与用号“”测得的视力相同（1）图中 ， ， ， 满足怎样的关系式？1b21l2（2）若 cm， cm，号“E”的测试距离 m，要使测得的视力相同，3.18l则号“E”的测试距离 应为多少？2l28、某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架 PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端 P到地面的距离.实验工具：3 米长的卷尺；铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。实验步骤：第一步，量得支架底部 A、B 两点之间的距离；第二步，在 AP 上取一点 C，挂上铅垂线 CD，点 D 恰好落在直线 AB 上，量得
27、 CD 和 AD 的长；第三步，在 BP 上取一点 E，挂上铅垂线 EF，点 F 恰好落在直线 AB 上，量得 EF 和 BF 的长。实验数据：线段 AB CD AD EF BF长度(米) 2.5 1 0.8 1.2 0.6问：根据以上实验数据，请你计算支架顶端 P 到地面的距离(精确到 0.1 米)；参考答案一、选择题：18、BBABCDAB二、填空题：9、答案：144;10、如 ，以及相互组合成的图形的面积.10,8,4,2 OBCEOBADAOESS四 边 形11、答案：12012、答案：3 米13、答案：、相似，、相似，、相似来源:学优高考网 gkstk14、答案：ACPB 或APCA
28、CB 或 AP215、答案：116、答案： 或 2;7217、需根据图形,位似比可为 11 或 21.18、 （3，9） 、 （5，9）三、解答题：19、解：方法一：过点 D 作 DE BC 交 BC 边于 E 点，则由 ，且A=A ，11ACDB1可知ADE AC B.1方法二：作ADE =ABC 交 AB 边于 E 点，又有A=A，可知ADE A BC.22 2方法三：过点 D 作 DE AB 交 BC 边于 E 点，则由 ，且C=C ，可知33CB3CDE CA B.3方法四：作CDE =B 交 BC 边于 E 点，又有C=C，可知CDE CBA.44 420、解 ， ，ECDFA/,E
29、ACDFAF, A又 ， ，BECGF, BGBG,/ ， ， ACFE又 厘米 米， 厘米 米， 米，60D.12.030C 米即电线杆的高为 6 米21、设 AP=x，则 BP=6-x ADBC，B=90，A=90，A=B.(1)当 时，APDBPC ， ，x= .APDBC168x23(2)当 时，APDBCP， ，x=2，或 x=4，所求的 AP 长为 ，2，3或 4 22、(1)ACD 为等边三角形 PC=CD=PD,PCD=PDC=CPD=60 PCA=PDB=120，当 时,ACPPDB CD 2=ACDBACPDBACDB(2)ACPPDB， BPD=A .APC+BPD=AP
30、C+A=PCD=60，APB=(APC+BPD)+CPD=60+60=12023、解：假设存在满足条件的实数 ，则在正方形 ABCD 中，DC 90 0，由kRtADPRtQCP 或 RtADPRt PCQ 得： 或 ，由此解得：PQAQCQ1 或 CQ ，从而 或 ，故当 或 时，ADP 与QCP.40k430k4324、解：（1）在正方形 中， ， ， ，ABCD90BCDBECF（SAS）. .ABEF EF， .9CO9O在 中， ， . 180()0AA（2）有 5 对相似三角形： ABEF ABFC 25、(1) 13,26,5C(2)A(0,-4)、B(-4,2)、C(6,4)，
31、 .213,26,10BAC（3） ， ABC 即此两个三角形相似.12ABA(4) ABC 与ABC 是位似图形,位似中心为点 O,位似比为 226、 （1）依据三角形中位线定理，有 DE= 12AB=5（2）设 A1B1=x，则 A2B2=2xA 1，A 2是 AC 的三等分点，且 A1B1A 2B2AB由梯形中位线定理，有 x+10=4x，解之得 x= 03这时 A1B1+A2B2=10（3）同理，可求出 A1B1+A2B2+A3B3=15，A 1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，从而A1B1+A2B2+A10B10=5027、(1)由相似的性质可知 b1b 2=l1l 2 即 b1l2=b2l1 (2)把数据代入上式即可求得(m)215bl28、解：（1）过 P作 MAF,垂足为 ,则 CDPM , EF ,ACD ,BEF . ,B 151.2,0.8406B4152P ,AM 42.5,5PM 8.3答：支架顶端 P 到地面的距离为 8.3 米.来源:gkstk.Com
