1、课堂探究探究一 双曲线的定义及应用若 F1，F 2 分别表示双曲线的左、右焦点，点 P 满足| PF1| PF2|2a，则点 P 在双曲线的右支上；若点 P 满足|PF 2| PF1|2a，则点 P 在双曲线的左支上，反之亦成立如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意 x 的范围【典型例题 1】 已知双曲线 1 的左、右焦点分别是 F1，F 2，若双曲线上一点x29 y216P 使得 F1PF290 ，求F 1PF2 的面积思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解解：由 1，知 a3，b4，x29 y216所以 c5.由双曲线定义及勾股定理，得|PF1
2、|PF 2|6 ，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|210 2 100，所以(| PF1|PF 2|)21002| PF1|PF2|，所以|PF 1|PF2|32.所以 SF1PF 2 |PF1|PF2|16.12探究二 求双曲线的标准方程解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定 a2，b 2 的值； (3)充分利用 a2b 2c 2.【典型例题 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；x28 y25(2)焦距为 2 ，经过点( 5,2) ，且焦点在 x 轴上；6(3
3、)与双曲线 1 有相同的焦点，且经过点(3 ，2)；x216 y24 2(4)过点 P ，Q 且焦点在坐标轴上(3，154) ( 163，5)思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值解：(1)依题意，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a ，c 2 ，所以 b2c 2a 25.3 2所以双曲线的标准方程为 1.x23 y25(2)因为焦点在 x 轴上，且 c ，6所以设方程为 1.x2a2 y26 a2又因为过点(5,2)，所以 1.25a2 46 a2解得 a25 或 a230(舍去)所以方程为 y 21.x25(3)设所求双曲线方程为 1(416)x216 y24 因为双曲线过
4、点(3 ，2)，2所以 1，1816 44 解得 4 或 14(舍去) 所以所求双曲线方程为 1.x212 y28(4)设双曲线方程为 1(mn0)x2m y2n因为 P，Q 两点在双曲线上，所以Error!解得Error!所以所求双曲线方程为 1.y29 x216点评：在(3)中，运用了与双曲线 1 有公共焦点的双曲线系方程x216 y24 1 后，便可迅速求解 (4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为 x216 y24 x2A1(AB0) 或设为 mx2ny 21( mn0) ，可避免分类讨论y2B探究三 易错辨析易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号【典型例题 3】 已知双曲线
5、8kx2ky 28 的一个焦点为(0,3)，求 k 的值错解：将双曲线方程化为标准方程为 1.x21ky28k由题意知焦点在 y 轴上，所以 a2 ，b 2 ，8k 1k所以 c 3，a2 b28k 1k即 9，7k所以 k .79错因分析：上述解法有两处错误：一是 a2，b 2 确定错误，应该是 a2 ，b 2 ；8k 1k二是 a，b，c 的关系式用错了，在双曲线中应为 c2a 2b 2.正解：将双曲线方程化为 kx2 y21，k8即 1.x21ky28k因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在 y 轴上，所以 c3，a 2 ，b 2 ，8k 1k所以 a2b 2 c 29，8k 1k所以 k1.
