1、互动课堂疏导引导1.任意角的三角函数的定义如右图，已知任意角 ，以角 的顶点 O 为坐标原点，以角 的始边的方向作为 x 轴建立直角坐标系 xOy，并且使xOy=90，在角 的终边上取点 A，使 OA=1，设 A 的坐标为（l,m） ，再任取一点 P(x,y)，设 OP=r(r0)，由相似三角形对应边成比例得.|,|,| lmxyrlx因为 A、P 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得 =l, =m, .rxylm不论点 P 在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于 的大小，与点 P 在 终边上位置无关.即当点 P 在 的终边上变化时，这三个比值始终等于定值，因此定义：叫做角 的
2、余弦，记作 cos,即 cos= , 叫做角 的正弦，记作 sin,即 sin= . 叫rx rxy ryx做角 的正切，记作 tan,即 tan= ,依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个法则都是以 为自变量的函数，分别叫做角 的余弦函数、正弦函数和正切函数.以下三个函数也经常用到角 的正割：sec= ;xrcos1角 的余割：csc= ;yin角 的余切：cot= ;xta1即 sec,csc,cot 分别为 cos,sin,tan 的倒数.2.三角函数的定义三角函数 定义 定义域sin ryRcos xRtan y|k+ ,kZ
3、2sec xr|k+ ,kZ csc yr|k,kZcot x|k,kZ确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时，比值无意义这一关键，即只有当角的终边在坐标轴上时，点 P 的坐标中必有一个为 0.具体地讲，当 =k(kZ)时，终边上的点的纵坐标 y 为零，以 y 为分母的比值，如余切 cot=xy 和余割 csc= 无意义，即这个三yr角函数的定义域为|k,k Z;同理，可得正切 tan= 与正割 sec= 的定义域为xyx|k+ ,k Z.23.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.sin= ,ry其中 r0,于是 sin 的符号与
4、 y 的符号相同，即当 是第一、二象限的角时，sin0;当 是第三、四角限角时，sin0.cos= ,其中 r0,于是 cos 的符号与 x 的符号相同，即当 是第一、四象限角时，xcos0;当 是第二、三象限角时，cos0.tan= ,当 x 与 y 同号时，它们的比值为正，当 x 与 y 异号时，它们的比值为负，即当 是第一、三象限角时，tan 0；当 是第二、四象限角时 tan0.规律总结 规律总结如何记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多，下面介绍两种：方法一：利用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”.上述口诀表示，第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切、余切是正值，第
5、四象限余弦是正值.方法二：利用课本上图 112 记忆，如图sin(csc)上正、下负（一、二象限为正，三、四象限为负）cos(sec)左负、右正（一、四象限为正，三、三象限为负）tan(cot)先交正，后交负（一、三象限为正，二、四象限为负）活学巧用【例 1】 已知角 的终边经过点 P（3a,-4a）(a0),求 sin,cos,tan,sec,csc,cot 的值.解析:在由三角函数的定义求三角函数时，应先求 ，由于含有参数 a，而 a 的条件为 a0，所以必须对 a 进行讨论，这一点不可忽视.x=3a,y=-4a,r= .)0(|5)4()322a(1)当 a0 时，r=5a, 是第四象限
6、角，sin= = cos= = ,ry,5rx3tan= .cot = ,34axy4asec = ,csc = .r5r5(2)当 a0 时，r=-5a, 是第二象限角sin= ,cos= ,tan= ,cot= ,sec= ,csc= .5434345所以有 sin= ,cos= ,tan= ,cot= ,sec= ,csc= .53【例 2】 已知角 的终边在直线 y=-3x 上，则 10sin+3sec=_.解析:由角 的终边落在直线 y=-3x 上，所以可设其终边上一点为 P（k,-3k ） （k0） ，再分k0 与 k0 求解.则 x=k,y=-3k,r= |k|,10)3(22k
7、(1)当 k0 时，r= , 是第四象限角，1sin= ,sec= = ,0ryxr10k10sin+3sec=10( )+ =- + =0.133(2)当 k0 时，r= k, 是第二象限角，0sin= = ,sec= = ,10sin+3sec=10 +3（ry13xr10k103）= =0.100综合以上两种情况，均有 10sin+3sec=0.答案:0【例 3】 求下列函数的定义域.（1）y= (2)y=lgsin2x+xcotsin29x解析:(1) 要使函数有意义，则须 sinxcotx0,即 sinx 与 cotx 同号或 cotx=0,x 是第一、四象限角或终边在 y 轴上的角
8、，y= 的定义域为xcosinx|2k- x2k 或 2kx2k+ ,kZ.22(2)要使函数有意义，则须 )(091,sinx由得，2k 2x2k+(k Z),k x k+ (kZ)2由得，x 29,-3x3由得-3x - 或 0x ,2故 y=lgsin2x+ 的定义域为29x|-3x- 或 0x .【例 4】 确定下列三角函数值的符号.（1）cos250 (2)sin(- ) (3)tan(-672) (4)tan431解析：(1)250是第三象限角,cos2500.(2)- 是第四象限角 ,sin(- )0.4(3)-672=-2360+48, 而 48是第一象限角,-672是第一象限
9、角.tan(-672)0.(4) =2+ ,而 是第四象限角, 是第四象限角.tan 0.31533131【例 5】 若 sin20 且 cos0，试确定 所在的象限.解：sin2 0,2k22k+(kZ ),k k+ (kZ).2当 k=2n(nZ )时，有 2n2n+ (nZ ),2 为第一象限角.当 k=2n+1(nZ )时，有 2n+2n+32(nZ), 为第三象限角.由 cos0，可知 在第二或第三象限，或 终边在 x 轴的负半轴上.综上可知， 在第三象限.【例 6】 若 sincos0，则 在（ ）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限解析:sinocs0，可知 sin 与 cos 同号，若 sin0,cos 0，则 在第一象限，若sin0,cos0，则 在第三象限， 在第一、三象限 .答案:B
