1、疱丁巧解牛知识巧学1.向量的加法(1)向量加法的定义向量是否能进行运算？先看下面几个实例.某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到 C，则两次的位移和： .如图 2-2-ACB1(1)(1) (2)图 2-2-1若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和： .如ACB图 2-2-1(2)某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和： .如图 2-2-A2(1)(1) (2)图 2-2-2船速为 ，水速为 ，则两速度和： .如图 2-2-2(2)ABCACB上面四个实例虽然是物理学中求两个已知位移和位移的题目，实质上它们当中却包含着数学中的向量的加法运算.
2、一般地，已知向量 a 和 b，在平面内任取一点 O，作 =a， =b,则向量 叫做BOa 与 b 的和，记作 a+b.即 a+b= .(如图 2-2-3)BA图 2-2-3两个向量的和仍是一个向量.求两个向量的和的运算叫做向量的加法.上面根据向量的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.三角形法则有两个步骤：以表示向量的第一个有向线段的终点作为表示第二个向量的有向线段的起点；第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段表示的向量为两个向量的和向量.向量加法的三角形法则，实质是把这两个向量首尾顺次连接.当两个向量共线时三角形法则仍然适用.深化升华 任何一个向量均可以写成两个任
3、意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如： ,如图 2-2-4 所示，O 点具有任意性.不管平面内的点 O 选在何BA处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.图 2-2-4对于零向量和任一向量 a，有 a+0=0+a=a，即零向量在向量的加法运算中所起的作用与实数 0 在实数的加法运算中所起的作用是相似的.对于相反向量，有 a+(-a)=(-a)+a=0，这与实数运算中互为相反数的两个数的和为 0 也是相似的，但应注意，在此运算中的结果为零向量，而非常数 0.学法一得 向量是既有大小又有方向的量，对于首尾相连的几个向量的和，等于以第一个向量的起点
4、为起点，第 n 个向量的终点为终点的向量.如果平面内有 n 个向量，它们依次首尾连接组成一条封闭的折线，那么这 n 个向量的和是零向量.(2)向量加法的运算律和平行四边形法则向量的加法同实数的加法相似，满足加法的交换律和结合律.向量加法的交换律：a+b =b+a.由向量的加法,当两个向量共线时，交换律显然成立.当两个向量不共线时(如图 2-2-5)，作平行四边形 OABC，使 =a， =b，则由平行四边形的性质和相等向量的定义不难OAC得出 =a， =b.CB图 2-2-5则 =a+b， =b+a,ABOCBO所以，a+b=b+a.平行四边形法则在向量加法交换律的证明过程中，包含了求向量和的另
5、外一种方法平行四边形法则.对于两个不共线的非零向量 a、b 分别作出 =a、 =b，以 OA、OC 为邻边作平OAC行四边形 OABC，则以 O 为起点的对角线 就是向量 a 与 b 的和，这种求两个向量和的B方法叫做向量加法的平行四边形法则.平行四边形法则包括三个步骤：1)先把两个已知的不共线向量的起点平移到同一点；2)再以这两个向量为邻边作平行四边形；3)这两邻边所夹的、与两个已知向量有着同一起点的对角线所对应的向量，就是这两个已知向量的和.平行四边形法则有着它的局限性，当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了，但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性.向量加法的三角形法则和平
6、行四边形法则称为向量加法的几何意义，它们建立起了向量和平面几何之间的联系.辨析比较 在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的.向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)证明：如图 2-2-6,使 =a, =b, =c,ABCD图 2-2-6则(a+ b)+c= .ADCa+(b+c)= ,BA(a+ b)+c=a+(b+c).从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.记忆要诀 向量的加法同实数的加法一样，满足交
7、换律与结合律.可对比于实数加法的运算记忆向量加法的运算.2.向量的减法在实数的运算中减法是加法的逆运算，同样地，向量的减法是向量加法的逆运算.一般地，若 b+x=a，则向量 x 就叫 a 与 b 的差，记作 a-b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.记忆要诀 向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.向量的减法也满足三角形法则，具体如下(如图 2-2-7)：图 2-2-7已知向量 a 与 b 不共线，在平面内任取一点 O，作 =a， =b.AB由于 ，即 b+ =a，OABB所以， =a-b.这就是说，当向量 a，b 起点相同时，从 b 的终点指向 a
8、 的终点的向量就是 a-b，即差向量“箭头”指向被减数.由加法的结合律不难得出：a-b =a+(-b)，且这个结果可由图 2-2-8 表示出来.图 2-8-8此外，向量的减法也可以用平行四边形法则来表示：如图 2-2-9，图中向量 =a+b，OB而向量 =a-b.CA图 2-2-9学法一得 一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量.3.向量的数乘(1)向量的数乘已知非零向量 a，作出 a+a+a 和(- a)+(-a)+(-a).由向量的加法不难得出：=a+a+a=3a，BCAO=(-a)+
9、(-a)+(-a)=-3a.MNQPN由图 2-2-10 可得图 2-2-103a 与 a 方向相同且|3a|=3|a|；(2)-3a 与 a 方向相反且|-3a|=3|a|.一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：|a|=|a|.0 时,a 与 a 方向相同； 0 时,a 与 a 方向相反；=0 时， a=0.由上可知：当|1 时，相当于把 a 的长度扩大；当|1 时，相当于把 a 的长度缩小；=0 时，a 仍然是一个向量，这个向量是零向量，即等式 a=0 两端都是向量，等号才成立.此处容易出现的错误是将实数 0 与向量 0 混淆.学法一得 由于向量是既有
10、大小又有方向的量，所以无论研究向量的和、差，还是研究实数与向量的积，对运算的结果都要从模与方向两个方面给予关注.误区警示 实数可以和向量进行乘法运算，其运算结果仍是向量，但不能和向量进行加法和减法运算.例如 2+0 无意义，它既不是向量也不是实数.(2)向量数乘的运算律根据向量数乘的定义，可以得出向量数乘满足下列运算律结合律：(a)=()a; 第一分配律：(+)a=a +a; 第二分配律：(a+ b)=a+b. 结合律证明：如果 =0，=0，a=0 至少有一个成立，则式成立.如果 0， 0，a0,有|(a)|=|a|=|a|,|()a|=|a|=|a|,|(a)|=|()a|.如果 、 同号，
11、则式两端向量的方向都与 a 同向；如果 、 异号，则式两端向量的方向都与 a 反向.从而 (a)=()a.第一分配律证明：如果 =0，=0，a=0 至少有一个成立，则式显然成立.如果 0， 0，a0，当 、 同号时，则 a 和 a 同向，|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|.|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|.、 同号,两边向量方向都与 a 同向,即|(+)a|=|a+a|.当 、 异号，当 时,两边向量的方向都与 a 同向；当 时,两边向量的方向都与 a 同向，且|(+)a|=|a+ a|.式成立.第二分配律证明：如果 a=0，b =0 中至少有一个成立，或
12、=0，=1,则 式显然成立.当 a0,b0 且 0，1 时,如图 2-2-11(1),当 0 且 1 时,在平面内任取一点 O，作 =a, =b, =a, =b.OAB11BA则 =a+b, =a+b.(1) (2)图 2-2-11由作法,知 ,有OAB=OA 1B1,| |=| |.AB1A1 =.OABOA 1B1. =.|11ABO|1O因此，O、B、B 1 在同一直线上， | |=| |, 与 方向也相同.11B( a+b)=a+b.如图 2-2-11(2),当 0 时,可类似证明：(a+ b)=a+b.式成立.辨析比较 要清楚实数与向量积和实数与实数积的区别，前者的结果是一个向量，后
13、者的结果是一个实数，并且前者满足两种分配律，而后者只满足一种分配律.(3)向量共线定理若有向量 a(a0)、b，实数 ，使 b=a，则 a 与 b 为共线向量 .若 a 与 b 共线(a0)且|b| a|=，则当 a 与 b 同向时 b=a；当 a 与 b 反向时 b=-a.从而得向量共线定理：如果有一个实数 ，使 b=a(a0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a 是共线向量,那么，有且只有一个实数 ，使 b=a.在向量共线定理中向量 a0 不能忽略，否则定理不成立.利用向量共线定理有时能很容易地证明几何中的三点共线和两条直线平行的问题，但是向量平行与直线平行是有区别的，直
14、线平行不包括重合的情况，而向量平行则包括了表示向量的有向线段在同一条直线上或重合的情况.利用向量共线定理证明三点共线的一般步骤是：以三点中任意两点为端点构造两个有一个共同端点的向量 a、b；证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一的实数 ，使 b=a 或 a=b 成立；由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线.典题热题知识点 1 向量的加法例 1 如图 2-2-12，在正六边形中，若 =a, =b，若用向量 a、b 将 、 、OAEOBC表示出来,则 =_， =_， =_.ODBCD图 2-2-12思路解析：设正六边形中心为 P，则 =( )+ =a+b+a,BOEAO=a+b+a+b.PC由
15、对称性： =b+b+a.D答案：a+b+ a a+b+a+b b+b+a方法归纳 深刻领会平行四边形法则，充分利用平行四边形的“对边平行且相等” 的性质，从而将陌生化为熟知，解决问题.例 2 已知 O 是四边形 ABCD 内一点，若 =0，则四边形 ABCD 是怎ODCBA样的一个四边形，点 O 是四边形 ABCD 的什么点？对于这两个问题，下列结论中正确的是( )A.四边形 ABCD 是正方形，点 O 是正方形 ABCD 的中心B.四边形 ABCD 是一般四边形，点 O 是四边形 ABCD 对角线的交点C.四边形 ABCD 是一般四边形，点 O 是四边形 ABCD 外接圆的圆心D.四边形 A
16、BCD 是一般四边形，点 O 是四边形 ABCD 对边中点连线的交点思路解析：如图 2-2-13，点 O 是四边形 ABCD 内一点，且 =0，以ODCBAOC、OD 为邻边作平行四边形 CODE.设 OE 与 CD 交于 I；以 OA、OB 为邻边作平行四边形 AOBF.设 OF 与 AB 交于 J.则 I、J 分别为 CD、AB 的中点.图 2-2-13由于 =0，且 ， ，所以ODCBAOFBAEDC=0，即 I、J、O 三点共线，即点 O 在 CD、AB 中点的连线上，同理可得点 O 也FE在 AD、BC 中点的连线上 .答案：D误区警示 本题易错选 A，这是因为若四边形 ABCD 是
17、正方形，点 O 是正方形 ABCD 的中心,则必有 =0，但反过来，由 =0,不能得出四边DCBDCBA形 ABCD 是正方形.巧解提示 采用排除法，利用平行四边形这一特殊四边形便可将 A、B、C 三项排除.知识点 2 向量的减法例 3 如图 2-2-14 所示，根据图形填空.图 2-2-14b+c=_，a+d=_，b+c+d =_，f+e=_，e+g=_，b- f+g=_.思路解析：b+c= a，a+d=f,b +c+d=a+d=f,f+e=b,e+g=h,b-f+g=e+b=h.答案：a f f b h h方法归纳 当所给图形是不规则图形时，可将其分解成多个三角形.当多个向量进行加、减法运
18、算时，可使用向量加法的运算律交换律和结合律.例 4 下列式子：a-a=0； =0；a+0=a；|a|-| a|=0.CAB其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.4思路解析：由于向量加减法运算的结果是向量，则 a-a=0； =0.向量与实数CAB不能进行加、减法的运算.向量的模是实数,可以进行加、减法的运算，但其结果是实数.故应选择 A.答案：A误区警示 向量只能与向量进行加、减法的运算，其运算的结果仍是向量，实数与实数之间的运算结果是实数，而向量与实数之间是无法进行加、减法运算的，且零向量与实数零在书写上是有区别的，如果不注意这些,将使向量加减法的运算出现错误，从而错选 D.知识点
19、 3 向量的数乘例 5 如图 2-2-15 所示，在平行四边形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，点 N 是 BD 上一点，且 .21NDB求证：M、N、C 三点共线.图 2-2-15思路分析：任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数 使两向量相等.证明：设 =a， =b，由于 M 是 AB 的中点，且 ，则 = , =ADB21NDBMABN31.B则 = b+ = b+ (a-b)NM213D1= a+ b= (2a+b).316又 = b+a= (2a+b).BC .M、N、C 三点共线.方法归纳 要证明三点共线，只需证明以其中一点为起点，以另外两点为终点的两个向量共线即可.深化升华
20、 实数与向量的积，向量的加减法运算是向量运算的基础，向量运算实现了几何量的代数运算，从而为“数形结合”开辟了更加广阔的空间.问题探究材料信息探究材料：采访零向量W：你好！零向量.我是数学天地的一名记者，为了让在校的高中生更好了解你，能不能对你进行一次采访呢？零向量：当然可以，我们向量王国随时恭候大家的光临，很乐意接受你的采访，让高中生朋友更加了解我，更好地为他们服务.W：好的，那就开始吧！你的名字有什么特殊的含义吗？零向量：零向量就是长度为零的向量，它与数字 0 有着密切的联系，所以用 0 来表示我.W：你与其他向量有什么共同之处呢？零向量：既然我是向量王国的一个成员，就具有向量的基本性质，如
21、既有大小又有方向，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，还定义了与实数的积.W：你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢？零向量：首先，我的方向是不定的，可以与任意的向量平行.其次，我还有其他一些向量所没有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的线性运算中，我与实数 0 很有相似之处.W：你有如此多的荣耀，那么是否还有烦恼之事呢？零向量：当然有了，在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意，如平行向量的定义，向量共线定理，两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼，在此我向大家真诚地说一声：对不起，这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.W：OK
22、！采访就到这里吧，非常感谢你的合作，再见！零向量：Bye!阅读上面的材料回答下面问题.问题 应用零向量时应注意哪些问题？探究过程:零向量是向量，它应具有向量应具有的性质，也具有它本身的特性.所以，在应用零向量时应从它与其他向量的相同之处和不同之处两方面进行考虑.例如，相同之处，它既然是向量就具有向量的两个要素大小和方向；不同之处应从教材中的概念和定理中寻找.探究结论：零向量有大小和方向，它的方向是任意的，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，也可以定义与实数的积，在进行线性运算时与实数 0 有着相似之处.由零向量是一个特殊的向量，因此在一些概念和定理中对它进行了限制，如平行向量、向量共线定理、向量垂直的条件、两个向量夹角的定义等概念和定理中就对它进行了限制.所以在应用这些概念和定理时一定要注意当中是否有零向量.
