1、数学苏教必修 4 第 2 章平面向量单元检测(满分：100 分 时间：60 分钟)一、填空题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1化简 的结果为_)ABMOBC2已知 (2,8)， ( 7,2)，则 等于_13A3若 a(2,3)，b(4，1 y)，且 ab，则 y 等于_4已知|a| 6， e 为单位向量，当 a，e 的夹角为 120时， ae 等于_5关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题：若 aba c，则 bc ；若 a(1 ，k )，b(2,6) ，ab，则 k3；非零向量a 和 b 满足| a| |b| ab|，则 a 与 ab 的夹角为 60.其中真命题的序号
2、为_(写出所有真命题的序号)6已知点 A(1，2) ，若向量 与 a(2,3)同向， ，则点 B 的坐标为AB21AB_7若向量 a，b 满足|a|b|1，a 与 b 的夹角为 120，则 aaab_.8ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，则实数 m_.()OHmBC9(2012 江苏高考，9)如图，在矩形 ABCD 中， ，BC 2，点 E 为 BC 的中AB点，点 F 在边 CD 上，若 ，则 的值是_2AFEF10O 为ABC 中线 AM 上的一个动点，若 AM2，则 的最小值是()OABC_二、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分)11(12 分)(1)已知 a
3、(4,2) ，求与 a 垂直的一个单位向量的坐标(2)若|a|2，|b |1，且 a 与 b 的夹角为 120，求| ab|的值12(12 分) 如图，已知ABC 的三个顶点的坐标为 A(5，1)，B(4,1)，C(0,4) (1)求ABC 的面积(2)若四边形 ABCD 为平行四边形，求 D 点的坐标13(12 分) 某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为 2a 千米/时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向14(14 分) 已知平面上三个向量 a，b，c，其中 a(1,2)(1)若|c| ，且 ca，求 c 的坐标；5(2)若|b| ，且 a2b 与
4、 2ab 垂直，求 a 与 b 的夹角 的余弦值52参考答案1. 答案： AC解析：运用向量加法的多边形法则运算求解2. 答案：(3，2)解析： (9，6) ，BO (3，2)13. 答案：7解析：ab，2(1y) 340，y 7.4. 答案：3解析：ae|a|e|cos 120 6 3.125. 答案：解析：当 a0 时，不成立；对于，若 ab，则2k6，k3，成立；对于，由于|a| |b| ab|，则以|a| ，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图 BAD60，ab，由菱形的性质可知，a 与 ab 的夹角为DAC30.AC6. 答案：(5,4)解析：由题意可设 a(2，3)(0)，AB ，
5、 .2132213解得 2， (4,6)又A(1，2)，B(5,4)7. 答案：解析：aaab|a| 2|a|b|cos 120 .128. 答案：1解析：设ABC 是直角三角形，C90，则 H 与 C 重合， O 为 AB 的中点，故 m1OABH9. 答案： 2解析：由 得， ，F()2ABDF即 ，2D又 ， ， ，0故 AEB()()CABCEBCF 2 2 2210(2 .10. 答案：2解析：设 x,0x 2，则 2x ，如图OAOM由题意易得 ， .OCMOBM又 ， |cos 180B()AC2AO2x(2 x) 2(x22x) 2(x1) 22.A当 x1 时有最小值2，此时
6、 O 为 AM 的中点11. 解：(1)与向量 a 垂直的一个向量为( 2,4)，又|a | ，45与向量 a 垂直的一个单位向量的坐标为 ，即 .24,552,(2)由已知 ab 21 1，|a b |22 2 (2)13，|ab| .312. 解：(1)设 AB 边上的高为 CE.设 E(x，y)，则 (x ，y4) ， (x5，y 1) ， (9,2)CAEAB由于 ，则 9x2( y4)0.AB由于 与 共线，则 2(x5) 9(y1)0.由解得14,75,y则 .CE1463,7SABC .2146358527AB(说明：本题还可用数量积去解) (2)设 D(m，n)， (m5，n1
7、)， ( 4,3)，C又 ， 4,139,2.D(9,2) 13. 解：设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为 v，那么此人感到的风速为 va.如图，设 a， 2a，OAB ，P va.这就是感到由正北方向吹来的风速 ， v2a.B于是当此人的速度是原来的 2 倍时，所感受到由东北方向吹来的风速就是 ，PB由题意知PBO45，PA BO ，BA AO ，从而，POB 为等腰直角三角形POPB a，即| v| a，实际风速是大小为 a 的西北风14. 解：(1)不妨设 ca(，2)，所以|c| 25 2.|c | ，| c|220.5 220， 2.c(2,4)或 c( 2，4)(2)a(1,2)，|a| 5(a2b) (2ab)，(a2b) (2ab)0，2a 23ab2b 20，253ab2 0.4ab .6cos .515|2ab
