1、自主广场我夯基 我达标1.已知 A(3)、B(-2)两点，则 AB=_，|AB|=_.思路解析：由于 AB 是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量 AB 的长度，因此一定要求向量 AB 的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5.答案：-5 52.已知点 M(2，2)平分线段 AB，且 A(x，3) 、B(3，y)，则x=_,y=_.思路解析：“点 M(2，2)平分线段 AB”的含义就是点 M 是线段 AB 的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解.点 M(2，2)平分线段AB， ，解得 x=1，y=1.23,2yx答案：1 13
2、.已知点 A(5， 12)，在 x 轴上求一点 P，使点 P 与点 A 的距离等于 13，则满足条件的点为_.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组) 进行求解.设点 P 的坐标为(x，0)，根据题意，得 =13，解得 x1=0，x 2=10.22)01()5(x答案:(0,0) 或(10,0)4.已知ABC 的三个顶点的坐标为 A( ，2) 、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是3_.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考
3、虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长.|AB|= =2,22)1()03(|AC|= =2,|BC|= =2,22)()(ABC 为等边三角形.答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为 A(1，1) 、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考查三边的长度是否满足勾股定理,从而判定三角形的形状.|AB|= =2,22)31()(|AC|= ,|BC|= ,2)()2(|AC|=|BC|.又AB 2=4,AC2+BC2=4,AB2=AC2+B
4、C2.三角形是等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形6.已知 ABCD 的三个顶点 A(0，0)、B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则顶点 C 的坐标为_.思路解析：由于 ABCD 的各顶点的顺序已经确定，因此点 C 的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点 C 的坐标.设顶点 C 的坐标为(m,n) ，AC 与 BD 的交点为 O，则 O 为 AC 和 BD 的中点，根据题意，得点 O 的坐标为( , ).21x1y又 点 O 为 AC 的中点， = , = .0m21x0n21y解得 m=x2+x1,n=y2+y1,点 C 的
5、坐标为(x 1+x2,y1+y2).答案：(x 1+x2,y1+y2)7.判定下列各组点中，哪一个点一定位于另一个点的右侧.(1)M(2x)、N(x)；(2)A(c) 、B(c+2)；(3)C(x)、D(x-a) ；(4)E(x)、F(x 2).思路解析：(1)中的 2x 与 x、(3) 中的 x 与 x-a、(4)中的 x 与 x2 都无法确定两个数的大小关系，而(2)中的 c 与 c+2 大小关系容易确定:cc+2，B(c+2)一定在 A(c)的右侧.答案：(2).8.在数轴上求一点的坐标，使它到点 A(-9)的距离等于它到点 B(-3)的距离的 2 倍.思路解析：设所求点为 C(x)，则
6、由题意得 |x-(-9)|=2|x-(-3)|，解得 x=3 或 x=-5.符合条件的点有两个:C 1(3)、C 2(-5).答案：C 1(3)或 C2(-5).9.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程:(1)|x+3|+|x-1|=5；(2)|x+3|+|x-1|=4；(3)|x+3|+|x-1|=3.思路分析：本题中的三个小题实质上是一道题，即在数轴上求到两个定点 A(-3)和 B(1)的距离之和分别等于 5、4、3 的点的坐标.解：(1)-3 到 1 的距离等于 4，如图所示，到两个定点 A(-3)和 B(1)的距离之和等于 5 的点为 C(1.5)或 C(-3.5)，图
7、 2-1-(1,2)-6x=-3.5 或 x=1.5.(2)如图所示，在线段 AB 上的任意一点到两个定点 A(-3)和 B(1)的距离之和都等于 4，-3x1.(3)在数轴上找不到一点到两个定点 A(-3)和 B(1)的距离之和等于 3，方程|x+3|+|x-1|=3 无解.综上，(1)x=-3.5 或 x=1.5;(2)xx|-3x1;(3)x.图 2-1-(1,2)-710.如图 2-1-(1,2)-7，等边ABC 的顶点 A 的坐标为( ，0) ，B 、C 在 y 轴上，3(1)写出 B、C 两点的坐标；(2)求ABC 的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用
8、两点间距离公式求边长,从而求出顶点 B 和 C 的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题 (2).解：(1)如图 2-1-(1,2)-4， ABC 为等边三角形，|AO|= ,|OC|=1,|OB|=1,3即 B、C 两点的坐标分别为 B(0,-1)、C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,ABC 的周长为 6,面积为 2 = .21我综合 我发展11.|x+2|+|x-3|a恒成立，则 a 的取值是_.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点 A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点 C(x)到点 A(-
9、2)的距离与到点 B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|AB|=5.答案：512.如图 2-1-(1,2)-8 所示，平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O，对于平面上任意一点 M,若p、q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离，则称有序非负实数对 (p,q)是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义， “距离坐标” 是(1，2)的点的个数是_.图 2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离
10、分别为 1 和 2 的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图 2-1-(1,2)-9答案：413.函数 y= 的最小值为_，此时相应的 x 值为13422xx_.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在 x 轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值.y= ,在 x 轴上222222 )30()()10()(134 xxx求一点，使这个点到两定点 A(1，1) 、B(2，3)的距离之和最小.作点 A(1，1) 关于 x 轴的对称点 C(1，-1)，则线段 BC 的长度
11、为所求最小值，即 ymin=|BC|=，线段 BC 与 x 轴的交点即为所求的 x 值.直线 BC 的函数关7)1()2(2系式为 y=4x-5,它与 x 轴的交点为( ，0) ，x= .45答案： 74514.如图 2-1-(1,2)-10，梯形 ABCD 在平面直角坐标系中，AD BC， ADC=90，|AB|=|DA|+|CB|，腰 DC 在 x 轴上，O 是线段 DC 的中点，|BO|=4，且BOC=60.求:(1)A、B、C、D 各点的坐标；(2)梯形 ABCD 的面积.图 2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点 B、C、D 的坐标并不困难，难点在于求点 A 的坐标，此时需要作一
12、条辅助线，即过点 A 作 AE 垂直 BC 于 E，然后用方程的思想求出线段 AD 的长.解：(1)如图所示，过点 A 作 AEBC 于 E，图 2-1-(1,2)-11设点 A 的纵坐标为 y，根据题意，得 A(0,y).ADBC，ADC=90，BCD=90.又 |BO|=4，且 BOC=60，|OC|=2，|BC|= .32点 C 的坐标为(2 ，0)，点 B 的坐标为(2, ).32又 O 为线段 DC 的中点，|DO|=2.点 D 的坐标为(-2,0).|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y，|BE|=|BC|-|EC|= -y.|AB|=|DA|+|CB|=y+ ,32又BC
13、D=90,AB 2=AE2+BE2,即(y+ )2=42+( -y)2.解得 y= ，33点 A 的坐标为(-2， ).(2)S 梯形 ABCD= ( + )4= .213316综上，(1)B(2,23) 、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2, );(2) .231615.已知等边ABC 的两个顶点的坐标为 A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C 点的坐标；(2)ABC 的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点 C 的坐标，再根据面积公式求出ABC 的面积.解：(1)如图所示，设点 C 的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图 2-1-(1,2)-12ABC 为等边三角形，.6)2(,42yx解得 .3,1,321因此，点 C 的坐标为(-1, )或(-1,- ).(2)SABC= 6 = .29综上，(1)C(-1, )或 C(-1,- );(2) .339
