1、课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例 1】 设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数，其中 0t24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的对应数据.t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(t+)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.y=12+3sin t,t0,24 B.y=12+3sin( t+),t
2、0,246 6C.y=12+3sin t,t0,24 D.y=12+3sin( t+ ),t0,2412 12思路分析：考查函数 y=Asin(x+)在实际问题中的近似估计 .解析：在给定的四个选项 A、 B、C、D 中我们不妨代入 t=0 及 t=3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A.答案：A温馨提示函数的模型只能近似刻画某个时段的水深变化情况，通常我们都要结合实验数据通过代入检验来不断改进函数模型.2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例 2】如下图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这
3、段曲线的函数解析式.思路分析：本题考查知图求式问题.利用图象给出的条件，利用待定系数法求 A、 、.解：（1）由题图所示这段时间的最大温差是 30-10=20 .(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(x+)+b 的半个周期的图象， =14-6,解得 = .28由图得 A= (30-10)=10,b= (30+10)=20.1于是 y=10sin( x+)+20，将 x=6,y=10 代入得 sin( +)=-1,由“五点法”作图原理知843+= .= .43243综上，所求解析式为 y=10sin( x+ )+20,x6,14.843温馨提示（1）一般地，所求出的函数模型
4、只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应特别注意自变量的取值范围.（2）利用图象研究函数的性质，观察分析函数的图象，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.3.将实际问题数学化【例 3】已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t(0t24，单位小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acost+b.（1）根据以上数据，求出函数 y=Acostx+b 的最小正周期 T、振幅 A
5、及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午 8：00 时至晚上 20：00 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？思路分析：从表中得到要用的数据，A 、T、w解：（1）由表中数据，知周期 T=12.= = = .T26由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0 A=0.5,b=1,振幅为 ,1y= cos t+1.216(2)由题知，当 y1 时才可对冲浪者开放 cos t+1 1,cos t0.2k- t2k+ ,262即 12k-3t12k+30t24,故可令 中 k 分别为 0，1
6、，2，得 0t3 或 9t15 或 21t24.在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动：上午 9：00至下午 15：00.温馨提示利用数学模型解决实际问题时，往往会忽略实际问题本身存在的条件，应引起注意.各个击破类题演练 1如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为s=6sin(2t+ )，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）6A.2 s B. s C.0.5 s D.1 s思路分析：本题已给出了单摆离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即
7、为此函数的一个周期.解：由分析，因为 =2,所以 T= =1.2答案：D变式提升 1某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.（1）画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量作为时间 t 的函数表达式（其中 t 以年初以来的月为计量单位） .解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图（2）设表示该曲线的三角函数为 y=Asin(x+)+b.由已知平均数量为 800，最高数量与最低数量差为 200，数量变化周期为 12 个月，所以振幅 A= =100,= = ,b=800,又 7 月 1 日为种群数2016量达最高， 6+=
8、.=- .62则种群数量关于时间 t 的函数表达式为 y=800+100sin (t-3).类题演练 2一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球.小球来回摆动时，离开平衡位置的位移 s（单位 cm）与时间 t(单位：s)的函数关系是 s=6sin（2t+ ）,6(1)画出它的图象.（2）回答以下问题.小球开始摆动（即 t=0）时，离开平衡位置多少厘米?小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？小球来回摆动一次需要多少时间？解：（1）先求周期：T= =1（s）.2列表：t 0 612531212t+ 62 232 2+ 66sin(2t+ ) 3 6 0 -6 0 3描点画图:(2)小球开始摆
9、动（t=0 ） ，离开平衡位置为 6 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm(即振幅).小球来回摆动一次需要 1 s（即周期）.变式提升 2在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流 i 是时间 t 的正弦函数，即i=3sin( t+ ).16试求它的初始（t=0）电流、最大电流和周期 .解析：t=0 时， i=3sin = ;23当 sin( t+ )=1；216即 t+ = ，t= 时，i max=3；3最小正周期：T= =4.21答案： ,imax=3,T=4.2类题演练 3以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份
10、随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元；而该商品在商店内的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元.假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大 .并说明理由.解：由条件可得，出厂价格函数为 y1=2sin（ x- ）+6,销售价格函数为 y2=2sin（ x44）+8,则利润函数43y=m(y2-y1)=m2sin( x )+8-2sin( x- )-6=m(2- sin x)4324所以，当 x=6 时，y=(2+ )m,即 6 月份盈利最大.2变式提升 3曲线 y=Asinx+k(A0,0)在区间0， 上截直线 y=3 及 y=-1 所得的线段长相等2且不为零，则下列对 A，k 的描述正确的是（ ）A.k=1,A2 B.k=1,A2 C.k=2,A2 D.k=2,A3解析：函数 y=Asinx+k 的周期为 ,故0, 的长度正好是它的一个周期，大致图象如图，由直线 y=3 与 y=-1 截曲线所得线段长相等知，y=3 与 y=-1 关于 y=k 对称，所以k=3- =1;又截得的丝段长不为零，有 k+A3 即 A3-k=3-1=2.故选 A.21答案：A
