1、课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例 1】 求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析：求出导数 y,分别令 y0 或 y0,即 4x3-4x0，解得-11,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+).令 y0，即 4x- 0，解得- ;令 y0,单调增区间为( ，+)，单调减区间为(0 ， ).121温馨提示在求单调区间时，一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例 2】若函数 f(x)= +(a-1)x+1 在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，+)上为231增函数，试求实数 a 的取值范围.解析：函数 f(x)的导数 f(x
2、)=x2-ax+a-1.令 f(x)=0,解得 x=1 或 x=a-1.当 a-11,即 a2 时，函数 f(x)在(1，+) 上为增函数，不合题意 .当 a-11,即 a2 时，函数 f(x)在(-，1)上为增函数，在(1，a-1)内为减函数，在( a-1,+)上为增函数.依题意应有当 x(1,4)时，f(x)0.所以 4a-16,解得 5a7.所以 a 的取值范围是5,7.温馨提示本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例 3】 当 x(0, )时，证明 tanxx.2思路分析：首先构造函数 f(x)=ta
3、nx-x,然后判断 f(x)在(0 ， )上的单调性.2证明：设 f(x)=tanx-x,x(0, ).f(x)=( .0tancos1cos1cosin1)cosin 2222 xxxf(x)在(0, )上为增函数.2又 f(x)=tanx-x 在 x=0 处可导且 f(0)=0,当 x(0, )时，f (x)f(0)恒成立，即 tanx-x0，2tanxx.温馨提示对于 tanx 的导数，没有导数公式可用，可先变换成 sinx、cosx 的导数，然后根据运算法则求导.各个击破类题演练 1证明函数 f(x)=ex+e-x在0,+)上是增函数.证明：f(x)=(e x)+( )=ex+(- )
4、=ex-e-x= ,11)(2当 x0,+)时，e x1,f(x)0.f(x)=ex+e-x在 0,+)上为增函数.变式提升 1设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间.解：f(x)=3ax 2+1.若 a0,f(x)0 对 x(-,+)恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾，若 a=0,f(x)=10,x(-,+)，f (x)也只有一个单调区间，与已知矛盾，若 a0),则 y=f(x)=ax2+bx+c;则 f(x)=2ax+b,由此可知 a0，又因为函数 y=f(x)图象过原点，所以 c=0,故 y=ax2+bx+c 的顶点：x=- 0
5、,y= 0，故选 A.abab42答案：A变式提升 2当 a 取何值时，函数 f(x)= x3+(a-1)x2+2x+1 在区间(-,+)内是增函数？12解：f(x)=(a 2-1)x2+2(a-1)x+2 因为 f(x)在(-,+)内是增函数，f(x)=( a2-1)x2+2(a-1)x+20 恒成立.当 a=1 时，f(x)=20,恒成立.当 a=-1 时，f(x )=-4x+2,f(x)0 不恒成立.当 a1 时，应有02)1(4)1(202a解得 a1 或 a-3综上可知 a1 或 a-3.类题演练 3求证：2 3- (x1)1证明：令 f(x)=2 -3+ ,则 f(x)= .21x1 时， x2x0. .f(x)= 0.21f(x)在(1,+) 上为增函数 .当 x1 时，f(x)f(1)=2-3+1=0.当 x1 时，2 3- .x1变式提升 3x0,求证 ex1+x证明：令 f(x)=ex-1-x,f(0)=e0-1-0=0,f(x)=ex-1.当 x0 时， f(x)=ex-10，即 f(x)在(0，+)上为增函数，f( x)f(0),即 ex-1-x0,即 ex1+x.当 xf(0).即 ex-1-x0，即 ex1+x.综上可知：x0 时，e x1+x.
