1、数学人教 B 选修 1-1 第二章 2.1.1 椭圆及其标准方程1掌握椭圆的定义及其标准方程2会推导椭圆的标准方程1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F 2 的_等于定长(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个_叫做椭圆的焦点，_的距离|F 1F2|叫做椭圆的焦距在椭圆的定义中，(1)当定长等于|F 1F2|时，动点的轨迹是线段 F1F2；(2)当定长小于| F1F2|时，动点的轨迹不存在【做一做 11】到两定点 F1(5,0) 和 F2(5,0)的距离之和为 10 的点 M 的轨迹是( )A椭圆 B线段C圆 D以上答案都不正确【做一做 12】已知椭圆上一点 P 到椭圆两个焦点 F1，F
2、 2 的距离之和等于 10，且椭圆上另一点 Q 到焦点 F1 的距离为 3，则点 Q 到焦点 F2 的距离为 ( )A2 B3C5 D72椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 _ _焦点坐标 _ _a，b，c的关系 _ _由求椭圆的标准方程的过程可知，只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，才能得到椭圆的标准方程【做一做 2】椭圆 1 的焦点坐标为_x24 y291椭圆的定义剖析：(1)用集合语言叙述为：点集 P M|MF1| MF2|2a,2a| F1F2|(2)在椭圆的定义中，若定长不大于|F 1F2|，则动点的轨迹不存在如，动点 P 到两定点 F1(1,0
3、)和 F2(1,0)的距离之和为 1.此时定长 1 小于|F 1F2|，由平面几何的知识可知，这样的点不存在2椭圆的标准方程剖析： 1(ab0)为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，焦点为 F1(c,0) ，x2a2 y2b2F2(c,0)，且 a，b，c 满足 a2b 2c 2.焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 1(ab0) ，y2a2 x2b2焦点为 F1(0， c)，F 2(0，c )，且 a，b，c 满足 a2c 2b 2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，椭圆的方程才是标准形式)在椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记
4、忆，如下图，a，b，c 恰能构成一个直角三角形，且都是正数，a 是斜边，所以 ab，ac 且 a2c 2b 2，其中 c 是焦距的一半，叫做半焦距方程 Ax2By 2 C(A，B，C 均不为 0)可化为 1，即 1.Ax2C By2C x2CA y2CB只有当 A，B ，C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆当 时，椭圆的焦点在 x 轴上；CA CB当 时，椭圆的焦点在 y 轴上CA CB题型一 利用椭圆的定义解题【例 1】设定点 F1(0，3) ， F2(0,3)，动点 P(x，y)满足条件|PF 1|PF 2|a(a0)，则动点 P 的轨迹为( )A椭圆 B线段C椭圆或线段或不存在 D不存在
5、反思：凡涉及动点到两定点距离和的问题，首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF1| |MF2| 2a(2a| F1F2|)，再确定其轨迹一定要注意 2a 与两定点间距离的大小关系题型二 求椭圆的标准方程【例 2】求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为( 4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0) ；(3)经过点 P(2 ，1)，Q( ，2)3 3分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量” 反思：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny 21(m0，n0 且 mn) 的形式有
6、两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴题型三 易错题型【例 3】若方程 1 表示椭圆，求 k 的取值范围x25 k y2k 3错解：由Error!得 3k 5.错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中的 ab0 这一条件，当 ab 时，方程并不表示椭圆反思：求解椭圆的标准方程及相关问题时，需要注意：(1)不要忽略定义中的条件 2a|F 1F2|；(2)在没有明确椭圆焦点位置的情况下，椭圆的标准方程可能有两个；(3)不要忽略标准方程中 ab0 这一条件1 到两定点 F1(0,4)，F 2(0，4) 的距离之和为 6 的点 M 的轨迹是( )A椭圆 B线段C椭圆或线
7、段或不存在 D不存在2 椭圆 1 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆上，若|PF 1|4，则| PF2|_.x29 y223 椭圆的一个焦点坐标为(0， 3)，且过点(4,0)，则椭圆的标准方程为_4 如果方程 x2ky 22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_5 已知点 P 在椭圆上，它到椭圆两焦点的距离分别为 5,3，过点 P 且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程答案：基础知识梳理1距离之和 定点 F1，F 2 两焦点【做一做 11】B 由题意可知， |MF1| MF2|10| F1F2|，故点 M 的轨迹是线段F1F2.【做一做 1
8、2】D 由椭圆的定义得：点 Q 到另一个焦点的距离为 1037.2 1(ab0) 1(ab0) F 1(c,0)，F 2(c,0) F 1(0，c) ，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2F2(0，c) a 2b 2c 2 a 2b 2c 2【做一做 2】(0， )和(0 ， ) 由椭圆的标准方程知焦点在 y 轴上，5 5a29，b 24，c 25.故焦点坐标为(0， )和(0 ， )5 5典型例题领悟【例 1】C 比较常数 a 与| F1F2|的大小可知动点 P 的轨迹当 a6 时，轨迹不存在；当 a6 时，轨迹为线段；当 a6 时，轨迹为椭圆【例 2】解：(1)椭圆的焦点在 x 轴上，设
9、它的标准方程为 1(ab0) x2a2 y2b22a 10.5 42 5 42a5，a 225.又 c4，b 2a 2c 225169.所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1(ab0) y2a2 x2b2又椭圆经过点(0,2)和(1,0) ，Error! Error!所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)设椭圆的标准方程为 mx2ny 21( m0，n0，且 m n)，点 P(2 ，1)，Q ( ， 2)在椭圆上，3 3Error! 解得Error!所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25【例 3】正解：由题意得Error! Error!3k 4 或 4k5.随堂练习巩固1D |MF 1| MF2|6|F 1F2|8，轨迹不存在22 3 1y225 x21640k1 方程可化为 1，因为焦点在 y 轴上，所以Error! 0k1.x22 y22k5解：设所求的椭圆的标准方程为 1(ab0) 或 1(ab0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知条件，得Error!解得 a4，c2，则 a216，c 24，b 2a 2c 212.故所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x212
