1、3.3 几个三角恒等式知识梳理一、万能代换公式：sin= ;cos= ;tan= .2tan12tan122tan1二、关于和差化积、积化和差公式的推导1.积化和差公式推导课本仅推了第一个，下面给出公式的全部推导过程：由于 sin(+)=sincos+cossin;sin(-)=sincos-cossin;cos(+)=coscos-sinsin;cos(-)=coscos+sinsin.+,得 sincos= sin(+)+sin(-);21-,得 cossin= sin(+)-sin(-);+,得 coscos= cos(+)+cos(-);-,得 sinsin=- cos(+)-cos(
2、-).212.和差化积公式的推导在积化和差公式中，如果“从右往左”看就是和差化积.令 +=,-=,则 = ,= ,2代入第一个积化和差公式，可得 sin+sin=2sin cos .2同理,可得 sin-sin=2cos sin ,cos+cos=2cos cos ,2cos-cos=-2sin sin .知识导学要学好本节内容，可以以一般的数学(代数) 变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，注意体会三角恒等变换的特殊性.关于和差化积、积化和差,万能代换公式这三组公式要了解它们的推导过程，体会其中用到的换元与方程的思想.课本上虽然不要求记忆，但如果能记住且会用，在解某些题目时将会少绕弯路
3、，起到事半功倍的效果.半角公式虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用.疑难突破1.代数式变换与三角变换有何异同？剖析：三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想.从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点.相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换.由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需
4、要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点.2.如何确定半角的正弦、余弦、正切的无理式前的符号?剖析：(1)若给出角是某一象限角时，可根据下表决定符号： 2sin 2cos 2tan 2第一象限 一、三象限 +、- +、- +第二象限 一、三象限 +、- +、- +第三象限 二、四象限 +、- -、 + -第四象限 二、四象限 +、- -、 + -(2)若给出 的范围时，可先求出 的范围，再根据 的范围确定符号.22(3)若没有给出决定符号的条件时，则要保留正,负两个符号 .3.半角公式的推导和使用.tan 还可以用 sin、c
5、os 的有理表达式给出吗？半角仅仅是 2与 之间的关系吗？剖析：(1)半角公式虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，特别是 sin2 = 与 cos2 = .应用它们可以起到降幂或升幂的cos1cos1重要作用，在三角函数的化简、求值、证明过程中有着举足轻重的地位.(2)课本中半角公式给出了无理表达式：sin = ,cos = ,tan = .2cos12cos12cos1其中 tan 还可以用 sin、cos 的有理表达式给出：tan = ,2sinco1si推导如下：tan =cos1in2cosi2csi 或 tan = ,sinicsin即 tan = .2ino1i这两个公式将 tan 表示成了 sin、cos 的有理表达式.使用它们在一些计算或化简过程中2可避免开方和对根号前符号的判断，非常方便，如计算 tan 可直接化为8-1，但应注意到 tan = 的适用范围是2214sinco 2sinco1k(kZ,而 tan = 与 tan = 的适用范围是 (2k+1)(kZ).cos1in2cos1(3)对于半角要有广义上的理解如：4= 8，3= 6a， = 3， = ，2332= ，613又如： = ， = ， = 等.4211n2n则有 sin2 = ,cos2 = ,tan2 = 等.1ncosn1ncos1nn2cos
