1、教学设计本章复习整 体 设 计知识网络 教学分析 向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有
2、加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法向量法向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及
3、运算律进行横向类比而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维
4、水平三维目标 1通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识提高分析问题、解决问题的能力2通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化培养学生的数学应用意识深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想3通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学重点难点 教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用教
5、学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用课时安排 2 课时教 学 过 程第 1 课时导入新课 思路 1.(直接导入)前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用思路 2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据
6、你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习推进新课 Error!向量的概念、运算及其综合应用活动：本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为 ，a(手写时为 )，坐标表示法为AB a axi yj(x，y)有哪些特殊的向量：a0 |a|0. 向量 a0 为单位向量 |a0|1.
7、相等的向量：大小相等，方向相同ab (x1，y 1)(x 2，y 2) Error!等等指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向量的加法1.平行四边形法则(共起点构造平行四边形)2三角(多边)形法则ab(x 1x 2，y 1y 2)abba(ab)ca(bc ) AB BC AC (向量首尾相连)向量的减法三角形法则(共起点指向被减)ab(x 1x 2，y 1y 2)aba(b)AB
8、BA OB OA AB 数乘向量1.a 是一个向量，满足|a|a|.20 时，a 与 a 同向；0时，a 与 a 异向；0 时，a0a(x，y)(a)()a( )aaa(a b)a bab ab( b0)向量的数量积ab 是一个实数1a0 或 b0 或 ab 时，ab02a0 且 b0 时，ab|a|b|cos a，babx 1x2y 1y2abba(a)ba(b)( ab)(ab)cac bca2|a 2|，|a| x2 y2|ab|a|b |本章的重要定理及公式：(1)平面向量基本定理：e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数 1、 2，使
9、 a 1e1 2e2.(2)两个向量平行的条件：ab( b0) 存在惟一的实数 使得 ab；若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab x1y2x 2y10( b 可以为 0)(3)两个向量垂直的条件当 a、b0 时，ab ab0 x1x2y 1y20.讨论结果：略Error!例 1 已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，(1)kab 与 a3b 垂直？(2)kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长
10、度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高解：(1)kabk(1,2) (3,2)(k 3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10， 4)当(kab) (a3b)0 时，这两个向量垂直由(k3)10(2k 2)(4)0，解得 k19，即当 k19 时，kab 与 a3b 垂直(2)当 kab 与 a3b 平行时，存在惟一实数 ，使 kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，得 Error!这是一个以 k、 为未知数的二元一次方程组解
11、这个方程组得 k ， ，即当 k 时，kab 与 a3b 平行，13 13 13这时 kab ab.13因为 0，所以 ab 与 a3b 反向13 13点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k3) (4)10(2k 2)0，先解出 k ，然后再求 .13变式训练1已知向量 a、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使 a、b 共线的条件是( )2a3b4e 且 a2b3e存在相异实数 、，使 ab0xayb0(其中实数 x、y 满足 xy0)已知梯形 ABCD 中， a、 bAB CD A
12、B C D解析：A、B 均含有，而 C、D 均含有，所以可先判定或.若能使 a、b 共线，则只有从 A、B 中进一步作出选择，若不能使 a、b 共线，则应从 C、D 中进一步作出选择首先判定能否使 a、b 共线由向量方程组Error!可求得a e，b e.b10a.a、b 共线，因此可排除 C、D.而由可得 、 是相异实数，17 107所以 、 不同时为 0，不妨设 0，b a，故 a、b 共线，排除 B，选择 A.答案：A2设坐标平面上有三点 A、 B、C，i 、j 分别是坐标平面上 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量 i2j， imj ，那么是否存在实数 m，使 A、B、C 三点共线
13、？AB BC 解：方法一：假设满足条件的 m 存在，由 A、B、C 三点共线，即 ，AB BC 存在实数 ，使 ，i2j ( imj )，Error!AB BC m2，即当 m2 时，A、B、C 三点共线方法二：假设满足条件的 m 存在，根据题意可知：i (1,0)，j(0,1)， (1,0)2(0,1)AB (1，2) ，(1,0)m(0,1)(1 ，m)BC 由 A、B、C 三点共线，即 ，AB BC 故 1m1(2)0，解得 m2.当 m2 时，A、B、C 三点共线.例 2 如图 1，已知在ABC 中， a， b， c.若 abbcca.求证：BC CA AB ABC 为正三角形图 1活
14、动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效
15、率证法一：由题意得 abc0，c(ab)又bcca，c (ab)0.a 2b 20.|a| 2|b| 2，即| a|b|.同理可得|c|b|，| a|b|c|.ABC 为正三角形证法二：由题意得 abc0，abc，bac.a 2b 2c 22bc ，b 2a 2c 22ac.而 bcca(已知)，a 2b 2b 2a 2.a 2b 2.|a| 2|b| 2.|a|b|.同理可得|c|b|，|a|b|c|.ABC 为正三角形证法三：如图 2，以 AB、BC 为邻边作平行四边形 ABCD，则a， ，AD BD AD AB 图 2 ac.BD 又abbc，b( ac)0.b 0.b .BD BD 平
16、行四边形 ABCD 为菱形，ABBC.同理可得 BCAC，ABC 为正三角形证法四：取 的中点 E，连结 AE，则BC ( ) (cb)，AE 12AB AC 12 a (cb)a0. a.ABAC.AE 12 AE 同理可得 BCAC，ABC 为正三角形点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况教师要引导学生善于挖掘.变式训练
17、1若 20，则ABC 是( )AB BC AB A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案：A2在四边形 ABCD 中， ，试证明四边形 ABCD 是矩AB BC BC CD CD DA DA AB 形证明：设 a， b， c， d，AB BC CD DA abcd0，ab(cd)两边平方，得|a| 22ab|b| 2|c| 22cd |d| 2，又 abcd，|a| 2|b| 2|c| 2|d| 2.同理|a| 2|d| 2|b| 2|c| 2.由得|a| 2|c| 2，|d| 2|b |2，|a|c| ，|d|b|，即 ABCD ，BCDA.四边形 ABCD 是平行四边形
18、于是 ，即 ac.AB CD 又 abbc，故 abb( a)， ab0. .AB BC 四边形 ABCD 为矩形点评：要证明四边形 ABCD 是矩形，可以先证四边形 ABCD 为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们可以从四边形边的长度和位置两方面的关系来进行思考.例 3 已知 a( ，1)，b( ， )，且存在实数 k 和 t，使得 xa(t 23)312 32b，ykat b 且 xy.试求 的最小值k t2t活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根
19、据垂直的条件列出方程，得出 k 与 t 之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键解：由已知，得|a| 2，| b| 1.32 12122 322ab 1 0，ab.312 32xy，xy0，即a(t 23) b(katb) 0.化简，得 k ， (t24t3) (t2) 2 ，t3 3t4 k t2t 14 14 74即 t2 时， 有最小值 .k t2t 74点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力. 变式训练1.如图 3，M 是ABC 内一点，且满足条件 2 3 0，延长 CM
20、交 AB 于 N，AM BM CM 令 a，试用 a 表示 .CM CN 图 3解： ， ，AM AN NM BM BN NM 由 2 3 0，得AM BM CM ( )2( )3 0.AN NM BN NM CM 3 2 3 0.AN NM BN CM 又A、N、B 三点共线，C、M、N 三点共线，由平行向量基本定理，设 ， ，AN BN CM NM 3 2 3 0.BN NM BN NM ( 2) (33) 0.BN NM 由于 和 不共线， Error!Error!BN NM . 2 2a.CM NM MN CN CM MN CM 2将函数 y2x 2 进行平移，使得到的图形与抛物线 y2x 24x2 的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式
