1、1.2.3 空间中的垂直关系5 分钟训练(预习类训练,可用于课前 )1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( )A.m ,mn=B,ln,lm l B.m ,n ,mn=B,lm,l n lC.m ,n ,mn=B ln,lm,l D.m ,n ,lm,l n l解析：将文字语言转化为集合符号语言时，比较好的方法是边读题，注意各个要求，边画图，同时用符号表示出来，它们同步进行，可以避免漏条件.另外由于这是一道选择题，也可以从选项入手排除错误选项，确定正确答案.答案：B2.关于直线 m、n 与平面 、，有下列
2、四个命题：m,n 且 ，则 m n；m ,n 且 ，则 mn；m,n 且 ，则 m n；m ,n 且 ，则 mn.其中真命题的序号是( )A. B. C. D.解析：若 m,n 且 ，则 mn 为假命题，可能出现直线相交的情况； 若m,n 且 ，则 mn 为假命题，可能出现直线相交的情况 .在的条件下，m、n 的位置关系不确定 .答案：D3.PA正方形 ABCD 各边，连结 PB、PC、PD、AC,则互相垂直的平面有_对.解析：由已知可得，PA、AB、AD、BC、CD 均是某个平面的垂线，平面 PAB平面ABCD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAB平面 PAD，平面 PAB平面 PBC，
3、平面PAD平面 PDC，平面 PAC平面 ABCD.答案：610 分钟训练(强化类训练，可用于课中 )1.设 m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面.下列叙述正确的是( )A.m,n ,mn B.,m,n mnC. ,m,n mn D.,=m,nm n 解析：此类题采用排除法解题，通过很好地找出反例，从而准确地判断出直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.答案：B2.设 a、b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A.若 ab，a，则 b B.若 ，a ，则 aC.若 ，a，则 a D.若 ab，a ，b，则 解析：对于 A，直线 b 可能在平面
4、 内；对于 B，直线 a 可能与平面 斜交；对于 C，直线 a 可能在平面 内.因此，选 D.答案：D3.如图 1-2-3-1，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱PA=a,PB=PD=2a,则它的五个面中，互相垂直的面是 _.图 1-2-3-1 图 1-2-3-2解析：由勾股定理逆定理得 PAAD,PAAB,PA 面 ABCD,PACD,PACB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论.答案：平面 PAB平面 PAD，平面 PAB平面 ABCD,平面 PAB平面 PBC,平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 PCD.4.如图 1-2
5、-3-2,已知 a,a . 求证： .解析：已知条件中已经有一条直线 a 与平面 垂直，可以想到利用线面平行的性质定理，过 a 作辅助平面去截平面 ，从而在平面 内找一条与直线 a 平行的直线.证明:过 a 作一平面 ，设 =a，a，则 aa.又a,则 a,又a ，由面面垂直的判定定理知 .5.如图 1-2-3-3,四棱锥 PABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD底面ABCD,E 是侧棱 PD 的中点.图 1-2-3-3(1)求证:PB平面 EAC;(2)求证:AE 平面 PCD.解析：(1)要证线面平行,只需在面 EAC 中找一直线与 PB 平行即可.(2)只需在
6、PCD 中找两条相交直线与 AE 垂直即可.证明:(1)连结 BD,BDAC=O,连结 EO,则 EO 为PDB 的中位线,则 PBEO. 所以 PB平面EAC.(2) CD平面 PAD CDAE.ADCABP矩 形 平 面平 面 AEPD, 则 AE平面 PCD.E正6.如图 1-2-3-4 所示,已知 ABCD 是矩形,AB=a,AD=b,PA平面 ABCD.PA=2c,Q 是 PA 的中点.图 1-2-3-4求:(1)点 Q 到 BD 的距离;(2)点 P 到平面 BQD 的矩离.解：(1)在矩形 ABCD 中,作 AEBD,E 为垂足,连结 QE.QA平面 ABCD,可证得 QEBE,
7、 QE 的长为点 Q 到 BD 的距离.在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=b, AE= .2ba在 RtQAE 中,QA= PA=c.21QE= .22bacAEQQ 到 BD 的距离为 .22(2)方法一:平面 BQD 经过线段 PA 的中点,点 P 到平面 BQD 的距离等于点 A 到平面 BQD 的距离.在AQE 中,作 AHQE,H 为垂足.BDAE,BDQE,BD平面 AQE.BDAH.AH平面 BQE,即 AH 为点 A 到平面 BQD 的距离.在 Rt AQE 中,AQ=c,AE= ,2baAH= .22)(cba点 P 到平面 BDQ 的距离为 .22)(bac方法二:本题
8、也可用体积法求解 .设点 A 到平面 QBD 的距离为 h,由 VABQD=VQABD, SBQD h= SABD AQ,31h= .22)(bacSAQBD30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后 )1.给出以下四种说法：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1解析：根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定
9、易知错,正确，故选 B.答案：B2.已知直线 l 和平面 、,且 l ,l ,给出以下 3 个论断:l ;l; .从中任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,那么( )A.一共可以写出 6 个命题,其中有 2 个命题正确B.一共可以写出 3 个命题,其中有 2 个命题正确C.一共可以写出 6 个命题,这 6 个命题都正确D.一共可以写出 3 个命题,这 3 个命题都正确解析：(1) ;(2) ;(3) ,其中(1)(3)为真命题.答案：B3.如果直线 l、m 与平面 、 满足：l=,l,m 和 m,那么必有( )A. 且 lm B. 且 mC.m 且 lm D. 且 解析：由已知有 ,又 l=
10、lm.故 A 对.l答案：A4.若ABC 所在平面外一点 P，分别连结 PA、PB、PC, 则这四个三角形中直角三角形的个数最多为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：设ABC 为 Rt,过一锐角顶点 A 作 PA平面 ABC，则四个三角形都是直角三角形，应选 D.答案：D5.已知 m、n 是不重合的直线， 、 是不重合的平面，给出下列四个命题：若m，m，则 ；若 m ，n ，m n，则 ；若 mn，m，则n；若 m，m ，则 ；其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：都是教材上定理的变形，只有是错误的，因为两个不重合的平面内只有一条直线互相平行，是不能推出两平面平行
11、的.答案：C6.已知平面 外不共线的三点 A、B、C 到 的距离都相等，则正确的结论是 ( )A.平面 ABC 必不垂直于 B.平面 ABC 必平行于 C.平面 ABC 必与 相交D.存在ABC 的一条中位线平行于 或在 内解析：当三点 A、B、C 不在平面 的同侧时，平面 ABC 与 相交，相交时也可能垂直于,排除 A、C.答案：D7.如图 1-2-3-5,下列五个正方体图形中 ,l 是正方体的一条体对角线 ,点 M、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出 l面 MNP 的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形的序号)图 1-2-3-5解析：正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直,可得中
12、直线 l 平行于平面 MNP中的两条相交直线，由能得出 l平面 MNP；但中平面 MNP 不与中的平面MNP 平行，这样由不能得到 l平面 MNP；中易得 lMP ，而 MN 也与下底面对角线平行，所以同样可得 l 平面 MNP；问题不易判断,这里略证一下:如图,E、F、G 是正方体棱的中点,则过 P、M 、N 的截面就是六边形 PGMENF.lPF,lFN,l面 PFN,即 l面 PGMENF,即 l面 PMN.答案：8.设 x、y、z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若 xz,且 yz,则 xy” 为真命题的是_.( 填所有正确条件的代号 )x 为直线,y、
13、z 为平面 x、y、z 为平面 x、y 为直线,z 为平面 x、y 为平面,z 为直线 x、y、z 为直线解析：同垂直于一直线的两面平行,同垂直于一面的两线平行,同垂直于一面的线面也平行.(不包含的话)答案：9.在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA 1面 ABC,且 AB=BC,能否在侧棱 BB1 上找到一点 E,恰使截面 A1EC侧面 AA1C1C?若能 ,指出 E 点的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.解：作 EMA 1C 于 M,截面 A1EC面 AA1C1C,EM面 AA1C1C.取 AC 的中点 N,AB=BC,BNAC.而面 ABC面 AA1C1C,BN面 AA1C1C.B
14、NEM.面 BEMN面 AA1C1C=MN.又 BE面 AA1C1C,BEMNA 1A.AN=NC,A 1M=MC.而 BEMN 为矩形,BE=MN= A1A,即 E 为 BB1 中点时,面 A1EC面 AA1C1C.210.如图 1-2-3-6，OA、OB、OC 分别是平面 内过 O 点的三条射线,P 是平面 外一点,若POA= POB=POC, 求证：PO.图 1-2-3-6证明：若POA=POB=POC ,作 PH,HDOA 于 D,HEOB 于 E,连结 PD、PE,2则 PDOA,PEOB.POA= POB,PO 公共,RtPODRtPOE.PD=PE.HD=HE.点 H 在AOB
15、的平分线上.同理,点 H 也在AOC 的平分线上.点 H 是AOB 的平分线与AOC 的平分线的交点,即点 O.PO平面 ,PO OA.这与POA 矛盾,假设不成立.2POA= POB=POC= .PO.11.如图 1-2-3-7，PA 矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.图 1-2-3-7(1)求证：MN 平面 PAD；(2)求证：MN CD；(3)若PDA=45,求证：MN平面 PCD.证明：(1)如图，取 PD 的中点 E，连结 AE、EN，则有 EN CD AB AM.21故 AMNE 是平行四边形.MNAE.AE 平面 PAD，MN 平面 PAD,MN平面
16、 PAD.(2)PA平面 ABCD，PAAB.又 ADAB,AB平面 PAD.ABAE,即 ABMN.又 CDAB,MNCD.(3)PA平面 ABCD，PAAD.又PDA=45,E 是 PD 的中点,AEPD ，即 MNPD.又 MNCD, MN平面 PCD.12.如图 1-2-3-8,在三棱锥 ABCA1B1C1 中,AA 1底面 ABC,且ABC 是等边三角形,在侧面三条对角线 AB1、BC 1、CA 1 中,AB 1BC 1.求证:AB 1CA 1.图 1-2-3-8证明：延长 B1C1 到 D,使 C1D=BC,连结 CD、A 1D.BCC 1D,C 1DCB 为平行四边形.BC 1CD.AB 1BC 1,AB 1CD.在A 1B1D 中,B 1C1=A1C1=C1D,B 1A1D=90,A1DA 1B1.AA 1底面 A1B1C1,A1D 面 A1B1C1,AA 1A 1D.A 1D面 A1B1BA.A 1DAB 1.AB 1CD, AB 1平面 A1CD.AB 1CA 1.
