1、1.1.7 柱、锥、台和球的体积5 分钟训练(预习类训练,可用于课前 )1.充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若要它的半径扩大为原来的 4 倍,那么它的体积应增大到原来的( )A.4 倍 B.8 倍 C.64 倍 D.16 倍解析：设气球原来半径为 R,则现在半径为 4R,此时体积 V= （4R） 3=64 .故选 C.43R答案：C2.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为 a,下底边长为 2a,对角线长为 ,则这个圆台的体积是( )aA. B.347a 3127C. D.38 34a解：由 AD=a,AB=2a,BD= a 知ADB=90,分别过 D 点、C 点作 DHAB,CGAB.
2、知3DH= a,HB= .DE=HF= a.2324221V 圆台 = ( a2+ a2+a2) .31373a答案：D3.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为_.解析：代入圆柱和球的体积公式求比即可.设球的半径为 r，则圆柱的底面半径是 r，高是 2r，V 球 = r 3，V 柱 =r 22r=2r 3.4V 柱 V 球 =2r 3 r 3=32.4答案：3210 分钟训练(强化类训练，可用于课中 )1.已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于（ ）32A. B. C. D.2 32434解：设正方体的棱长为 x,则正方体的对角线长为 ，由题设
3、有 ，解x332)(34x得 x= .所以选 D.34答案：D2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥 ,这个圆锥的体积是( )A. B. C. D.32438R3245R385R解：设圆锥的底面半径为 r,则 2r=l=R.r= R.1圆锥的高 h= .RR23412V 锥 = r 2h= .3123答案：A3.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A. B. C. D.32313232解：正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由 8 知 a=1.则此球的42a直径为 2，故选 A.答案：A4.如图 1-1-7-1，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过
4、四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC、DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1、S 2，则必有( )图 1-1-7-1A.S1S2C.S1=S2 D.S1、S 2 的大小关系不能确定解：连结 OA、OB、OC、OD，则 VABEFD=VOABD+VOABE+VOBEFD,VAEFC=VOADC+VOAEC+VOEFC.又 VABEFD=VAEFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 SABD +SABE +S 四边形 BEFD=SADC +SAEC +SEFC又面 AEF 公
5、共，故选 C.答案：C5.正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点 E、F ，连结 AE、EF 、AF，以AE、EF、FA 为折痕，折叠这个正方形，使 B、C 、D 重合于一点 P，得到一个三棱锥如图1-1-7-2.求此三棱锥的体积 .图 1-1-7-2解：D= C=B=90 ，翻折后APE=EPF=APF=90.RtPEF 可以看作底面，而 AP 可以看作是高.比较发现：AP=1，PEPF ，PE=PF= .21V APEF= SPEF AP= 1= (立方单位).312124130 分钟训练(巩固类训练,可用于课后 )1.正方体形容器有相邻两面中心各有一小孔,则此封闭容
6、器最多盛水量是正方体总容量的( )A. B. C. D.887 41解析：设正方体棱长为 2a,则最多盛水容积为(2a) 3- a22a=7a3.又总容积为 8a3.故选 B.1答案：B2.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A.134 B.132C.124 D.142解：设球半径为 R,则 V 圆锥 = R 2(2R)= R 3,V 圆柱 =R 22R=2R 3,V 球 = R 3.31 4V 锥 V 柱 V 球 = 2 =132.4答案：B3.OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母
7、线与轴的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.3212121421解析：如图,设圆锥的高为 h,母线与轴的夹角为 ,则圆锥的底面半径 r=htan.V 圆锥 = r 2h= h 3tan2.1又 OA=hsin,故 O1A=hsincos.故曲面将圆锥分成两部分的上部分体积为 V1= O 1A2(DO1+O1O)= h 3sin2cos2.所剩3另一部分的体积为 V2=V 圆锥 -V1= h 3tan2- h 3sin2cos2.又 V1=V2，故h 3sin2cos2= h 3tan2- h 3sin2cos2.解之,得 cos4= ,cos= .1 4答案：D4.已知各顶点都在一个球面
8、上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( )A.16 B.20 C.24 D.32解析：由 V=Sh 得 S=4，即正四棱柱底面边长为 2.该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以球的表面积 V=4r 2=4( )2=D2=(2 2+22+42)=24 ，选 C.D答案：C5.在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )A. B. C. D.32675465解析：截去的每个小三棱锥的体积为 = （ ） 4，则剩余部分体积21312V=1- （ ） 48= .1251答案：D6.已知球面上的四点 P、A、B
9、 、C,且 PA、PB、PC 两两互相垂直,PA=PB=PC=2, 则此球的体积为( )A. B. C. D.343232823解析：以 PA、PB、PC 为三边作一个正方体,则此球是正方体的外接球,其直径等于正方体的对角线长,即 2R= ,所以 R= .因此,球的体积为 R 3= .故选 A.4答案：A7.圆台的体积为 52 cm3,上、下底面积之比为 19,则截得该圆台的圆锥体积为_.解：设圆台的上、下底面半径分别为 r、R,则 rR=13.而 V 台 = h(r 2+Rr+R2)=52,设圆31锥高为 h,则 ,h= h.31h2 h( )=52.329R h R2=52.R 2h= =
10、162.6815V 锥 = R 2h= 162=54.3答案：548.圆锥的母线长是它的高的 2 倍,过顶点的最大的截面交底面得一条弦,底面圆心到弦的距离为 2 cm,求圆锥的体积.解：设 PO=x,则 PA=2x,OA= ,最大截面为 PAD(APD=90 ).x3设 OCAD,则 OC=2,AC= .由 OC2+CA2=OA2 可得 x=2.xV= ( )2x=8.3x9.将半径为 72 cm 的扇形 OAB 剪去小扇形 OCD,余下扇环 ABCD 的面积为 648 cm2,围成圆台后,其上、下底半径差为 6 cm.求该圆台的体积.解:设圆台上、下底面半径、母线、高分别为 r、R 、l、h,依题意得方程组 22)(,6487,rRlhlrl解之,得 .356,1,hlRrV 台 = (6 2+122+126) ( cm2).3504610.如图 1-1-7-3 所示，一个容器是倒置的等边圆锥形，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒置，求水深与容器高的比.图 1-1-7-3解：图甲中恰过高的一半, .321V .1,822图乙中的水的容积不变, =7,即 V1 是整个体积的 .设图乙中水面高度为 h，容器高为21 87H,则 ,即 ,h=(1- )H.321)(87HhV233
