1、24.2 圆的基本性质第 2 课时 垂径分弦1理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点，难点) ；2认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点)一、情境导入来源:学优高考网你知道赵州桥吗？它又名“安济桥” ，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有 1400 多年了，是隋代大业年间(公元 605 618 年) 由著名匠师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，全长 50.82 米，桥宽约 10 米，跨度 37.4 米，拱高 7.2 米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道主桥
2、拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理及应用【类型一】 利用垂径定理求线段长如图所示，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD6cm ，则直径 AB 的长是 ( )A2 cm B3 cm3 2C4 cm D4 cm2 3解析：直径 ABDC，CD6cm，DP3cm.连接 OD， P 是 OB 的中点，设 OP为 x，则 OD 为 2x，在 RtDOP 中，根据勾股定理列方程 32x 2(2x) 2，解得x .OD2 cm，AB 4 cm.故选 D.3 3 3方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应
3、用勾股定理解决问题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题【类型二】 垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 )，点 O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OCAB，垂足为 D，AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是_m.AB 解析：本题考查垂径定理的应用，OCAB，AB300m，AD150m.设半径为 R，在 RtADO 中，根据勾股定理可列方程 R2( R50) 2150 2，解得 R250.故答案为 250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题【
4、类型三】 动点问题如图，O 的直径为 10cm，弦 AB8cm ，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围来源:gkstk.Com解析：当点 P 处于弦 AB 的端点时，OP 最长，此时 OP 为半径的长；当 OPAB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时 OP 的长来源:学优高考网 gkstk解：作直径 MN弦 AB，交 AB 于点 D，由垂径定理，得 ADDB AB4cm.又12O 的直径为 10cm，连接 OA，OA5cm.在 RtAOD 中，由勾股定理，得 OD3cm. 垂线段最短，半径最长，OP 的长度范围是 3cmOP5cmOA2 AD2方法总结：解题的关键是
5、明确 OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 5 题探究点二：垂径定理的推论的应用【类型一】 利用垂径定理的推论求角如图所示，O 的弦 AB、AC 的夹角为 50，M 、N 分别是 、 的中点，则AB AC MON 的度数是( )A100 B110 C120 D130解析：已知 M、N 分别是 、 的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”AB AC 得 OM AB、ON AC ，所以AEOAFO 90，而 BAC50 ，由四边形内角和定理得MON360AEOAFOBAC36090 9050130.故选
6、 D.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 4 题来源:学优高考网 gkstk【类型二】 利用垂径定理的推论求边如图，O 的直径 CD 过弦 AB 的中点 E，且 CE2，DE8，则 AB 的长为( )A9 B8 C6 D4解析：CE2，DE8，CD10，OBOC5，OE523.直径 CD 过弦AB 的中点 E， CDAB， AEBE.在 RtOBE 中，OE3 ，OB 5，BE 4，AB2BE8.故选 B.OB2 OE2方法总结：垂径定理的推论虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题三、板书设计1垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧2垂径定理的推论来源:gkstk.Com平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧教学过程中，引导学生探究垂径定理及其推论时，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关在练习过程中，引导学生结合实际运用垂径定理，使学生养成良好的思维习惯.
