1、第2章 整式加减2.1 代数式第1 课时 用字母表示数教学目标【知识与技能】经历探索规律并用字母表示数的过程,能用字母表示以前学过的运算律和计算公式.【过程与方法】体会字母表示数的意义,形成初步的符号感, 提高应用数学的意识.【情感、态度与价值观】激发强烈的求知欲,培养积极探索, 勇于创新的精神和团结合作的习惯.教学重难点【重点】用字母表示数的意义及用字母表示规律.【难点】用字母表示规律.教学过程一、创设情境,引入新课国庆节到了,妈妈要加班 ,上班前嘱咐读初一的儿子方舟在家里打扫卫生,方舟按妈妈的要求做完后,坐在窗边想着想买的玩具, 可又愁自己没钱,忽然 ,他计上心来,趁妈妈下班回家之前在桌子
2、上留了一张纸条,然后躲在房间里看妈妈的动静.妈妈回家看到纸条是这样写的:“拖地收3 元, 叠被子收2 元, 擦窗户收4元,丢垃圾袋收2 元,共计11 元” .妈妈看后 ,一言不发,拿笔在纸条后加上几行字:“吃饭收 x元,穿衣收y 元,带你去看病收z元,关心收a 元共计应收b 元”.写完后就到厨房做饭去了,方舟溜出来一看,心生惭愧,赶忙收起了纸条.你知道妈妈写的x元、y 元是多少吗?方舟为什么惭愧?今天这节课,我们就来学习用字母表示数.活动(一) 问题1:2003 年10月15 日,我国成功发射了“神舟五号” 载人飞船,它在椭圆轨道上环绕地球飞过14 周,历时21h.(1)该飞船绕地球飞行一周需
3、要多少分?(2)若绕地球飞行n周, 需多少分 ?生:(1)=90(分) (2)n=90n(分).问题2:能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数 ,如果用k 表示任意一个整数,用含有k 的代数式表示 :(1)任意一个偶数;(2) 任意一个奇数 .整数:-3 -2 -1 0 1 2 3 k 偶数:-6 -4 -2 0 2 4 6 ( ) 奇数:-7 -5 -3 -1 0 1 3 5 ( ) 学生思考并举手回答.教师通过探究,我们发现字母可以表示任何一个数.二、讲授新课1.你知道扑克牌中的字母表示什么数吗?2.一则招领启事是这样写的:“小明同学今天在操场上拾到人民币n元, 请失主到政教
4、处认领”.你知道这里为什么要用字母n吗?活动(二) 问题3: 在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如何用字母表示它们?请同学们填写下表:运算定律 字母表示 语言表述加法交换律 a+b=b+a加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律学生讨论交流并举手回答.师: 请同学们比较一下,哪一种表示方法更简明、更有利于掌握、交流呢?学生回答.师: 通过问题3, 使我们认识到正确使用字母表示所学过的运算律、公式和法则既简单又明了.三、举例应用1.用字母表示下列法则:(1)有理数的减法法则;(2)分数的加法法则.2.你会填下表中各图形的周长和面积公式吗?用字母表示公式名称 图形周长(C) 面积(S)正方形
5、C=4a S=a2三角形 C=a+b+c S=ah梯形 C=a+b+c+d S=(a+b)h圆 C=2r S=r2活动(三) 问题4:(1)如图所示,用长方形框 任意框出月历中的三个数之间有什么关系?请用一个等式表示这个关系.(2)如图所示,若用正方形框 任意框出月历中的四个数 ,我们又能用什么等式表示呢?学生观察、探究并写出结果.四、随堂练习我们按如图所示的摆法摆小正方形,记录你所搭的正方形的个数和所用的火柴棒的根数.1.若第一个正方形摆4根,以后每个摆3 根, 则n个正方形所用的火柴棒的根数为 . 2.若每个正方形上方摆1根,下方摆1 根, 中间摆1 根, 还需加1根,则n个正方形所用的火
6、柴棒的根数为 . 3.若每个正方形都摆4根,除第1 个外, 其余的都多1 根, 则n个正方形所用的火柴棒的根数为 . 4.若先摆1根, 再每个正方形摆3 根, 则n个正方形所用的火柴棒的根数为 . 【答案】 1.4+(n-1)3 2n+n+(n+1) 3.4n-(n-1) 4.1+3n五、课堂小结这节课我们通过活动探索规律,得出规律, 并用含字母的式子表示出来,使我们知道: 用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系,也可以简明地表达数字和公式,这样给我们研究问题带来很大的方便.第2 课时 列代数式教学目标【知识与技能】1.了解代数式的概念.2.能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示, 会正
7、确书写代数式.【过程与方法】1.在探索现实世界数量关系的过程中,建立符号意识.2.初步体会数学中抽象概括的思维方法.【情感、态度与价值观】1.激发学生从事探索性活动的积极性.2.培养学生自主学习的习惯.教学重难点【重点】1.根据实际问题列出代数式.2.解释代数式的意义.【难点】根据实际问题列出代数式并解释代数式的意义.教学过程一、创设情境,引入新课如图为一阶梯纵截面,一只老鼠沿长方形的两边A BD的路线逃跑,一只猫同时沿阶桥(折线)A CD的路线去追,结果在距离C点0.6m的D处,猫捉住老鼠 ,已知老鼠的速度是猫的,你能求出阶梯AC的长度吗?要想解决这个问题,让我们先来学习本节课的内容代数式.
8、师: 请同学们自主探究,完成下面的问题:1.今日大米x元 /千克,食用油y元/ 千克,妈妈买10千克大米、2千克食用油共需 元.2.一隧道长s米 ,一列火车长180米,如果该火车穿过隧道所花的时间为t分,则列车的速度可表示为 米/分. 3.将三个边长为acm的正方体拼成一个长方体 ,则这个长方体的体积为 cm 3. 【答案】 1.10x+2y 2. 3.3a 3学生解答.教师点评、分析:像这样把数和字母加、减、乘、除及乘方等用运算符号连接而成的式子,我们称为代数式.注: 单独一个数或一个字母也是代数式;运算符号是指加、减、乘、除、乘方、开方.代数式书写格式的规定,请同学们阅读课本.二、讲授新课
9、1.指出下列各式中哪些是代数式,哪些不是代数式?(1)x-1;(2)-2x=1;(3);(4)57;(5)m.2.在式子xy+a,-3,abc,3a,a5,(a+b) 2中符合代数式书写要求的有 个. 学生思考并举手回答.师: 通过以上讲解及练习,你知道什么是代数式吗?它与等式、不等式的区别是什么 ?书写要注意哪些要求?学生讨论交流.教师指导、评价.三、例题讲解【例1】 设甲数为a,乙数为 b,用代数式表示:(1)甲数的3 倍与乙数的一半的差;(2)甲、乙两数和的平方.【答案】 (1)3a-b. (2)(a+b) 2.【例2】 填空:(1)某商店上月收入x元,本月收入比上月的2倍还多5万元,该
10、商店本月收入为 元; (2)一件a 元的衬衫, 降价10%后,价格为 元; (3)含盐10% 的盐水800g,在其中加入盐ag后,盐水含盐量的百分率为 . 【答案】 (1)(2x+50 000) (2)(1-10%)a (3)100%=100%【例3】 说出下列代数式的意义 :(1)圆珠笔每支售价a元, 练习簿每本售价 b元,那么3a+4b表示什么 ?(2)长方形的长、宽分别为a、b,那么a(b+1) 表示什么?【答案】 (1)3支圆珠笔与4本练习簿的总价格 .(2)长为a 、宽为b+1的长方形的面积.四、随堂练习用代数式表示:(1)比a的倒数多8的数是 ; (2)x的倒数与m除n的商的和是
11、; (3)与a+b的和是30 的数是 ; (4)m、n两个数平方和的3倍是 . 【答案】 (1)+8 (2)+ (3)30-(a+b) (4)3(m 2+n2)教师指导、评价.列代数式的一般方法有:(1)依据公式(关系)列代数式;(2)依据实际问题列代数式;(3)依据式子或图形探索规律列代数式.五、组织练习,巩固提高1.甲、乙两数差的平方与甲、乙两数平方的和的积.2.a与 b的和除以a 与b的差.3.x千克含盐为 10%的盐水中含水 千克. 4.观察下列等式:3941=402-1,4852=502-22,5664=602-42,6575=702-52,8397=902-72,请把你发现的规律用
12、字母表示出来:mn= . 生:() 2-()2.5.师:你能用语言表述3a+5b的意义吗 ?学生思考并举手回答.教师示范:从两方面考虑:(1)根据运算顺序的要求去表述 ,如可以说 “a的3倍与b的5 倍的和” ;(2)结合具体的实际情况去表述 ,如一本笔记本的价格为a元 ,一支铅笔的价格为b元,3a+5b表示3本笔记本与5支铅笔的价格.六、变式训练用语言表述下列代数式的意义:1.2(a+b) 2.ab学生思考、举手回答,教师指导、点评.七、课堂小结通过本课的学习,你获得了哪些新的知识?你认为自己有哪些方面的进步?第3 课时 单项式教学目标【知识与技能】1.理解单项式及单项式系数、次数的概念.2
13、.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.【过程与方法】通过用字母表示数和数量关系的学习,初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.【情感、态度与价值观】通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程, 培养学生自主探索知识和合作交流的能力.教学重难点【重点】掌握单项式及单项式的系数与次数的概念,并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.【难点】单项式概念的建立.教学过程一、复习引入1.师:请用含字母的式子填空:(1)若正方形的边长为a, 则正方形的面积是 ; (2)若三角形的一边长为a, 并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为 ; (3)若x表示正方体的棱长,则正方体的体积
14、是 ; (4)若m表示一个有理数 ,则它的相反数是 ; (5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程,一年下来小明捐款 元. 【答案】 (1)a 2 (2)ah (3)x 3 (4)-m (5)12x2.师:请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征 .由小组讨论后,经小组推荐代表回答, 教师适当点拨.二、讲授新课1.单项式.通过特征的描述,引导学生概括单项式的概念, 从而引入课题:单项式, 并板书单项式的概念,即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式,然后教师补充,单独一个数或一个字母也是单项式,如 a,5.2.练习.师: 请你们判断下列各代数式哪些是单项式.(1);(2)abc
15、;(3)b2;(4)-5ab2;(5)y;(6)-xy2;(7)-5.(加强学生对不同形式的单项式的直观认识,同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学)【答案】 略3.单项式的系数和次数.直接引导学生进一步观察单项式的结构,总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的. 以四个单项式a 2h,2r,abc,-m为例, 让学生说出它们的数字因数是什么,从而引入单项式系数的概念并板书,接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么,各字母的指数分别是多少, 从而引入单项式次数的概念并板书.三、例题讲解教师板书例题.【例1】 判断下列各代数式是否是单项式 .若不是,请说明理由 ;若是,请指
16、出它们的系数和次数.(1)x+1;(2);(3)r2;(4)-a2B.【答案】 (1)不是, 因为原代数式中出现了加法运算 ;(2)不是 ,因为原代数式是1与x的商;(3)是,它的系数是,次数是 2;(4)是, 它的系数是 -,次数是3.【例2】 下面各题的判断是否正确 ?(1)-7xy2的系数是 7;(2)-x2y3与 x3没有系数;(3)-ab3c2的次数是0+3+2;(4)-a3的系数是-1;(5)-32x2y3的次数是 7;(6)r2h的系数是.教师通过其中的反例练习及例题,强调应注意以下几点:(1)圆周率是常数;(2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x 2,-a
17、2b等;(3)单项式的次数只与字母的指数有关.指数是1,省略不写,但求和不能省略 .【例3】 (1) 苹果原价是每千克p元,按8折优惠出售,用式子表示现价;(2)某产品前年的产量是n件, 去年的产量是前年产量的 m倍, 用式子表示去年的产量;(3)一个长方体包装盒的长和宽都是acm,高是hcm,用式子表示它的体积;(4)用式子表示数n的相反数.【答案】 (1)现价是每千克0.8p元;(2)去年的产量是mn件;(3)由长方体的体积 =长宽高,得这个长方体包装盒的体积是aahcm 3,即a 2hcm3;(4)数n的相反数是-n.四、课堂练习(1)游戏:一个小组学生说出一个单项式, 然后指定另一个小
18、组的学生回答它的系数和次数 ,然后交换,看两小组哪一组回答得快而准.(2)用单项式填空, 并指出它们的系数和次数 :每包书有12册,n包书有 册; 一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时行驶的路程为 km; 一台电视机原价为a元,现9折出售,这台电视机的售价 元; 长是0.9,宽为a的长方形面积是 . 【答案】 12n vt 0.9a 0.9a师: 上题中和的结果一样,这说明用字母表示数后, 同一个式子可以表示不同的含义, 你能赋予0.9a 一个含义吗 ?五、课堂小结教师引导学生理解并掌握单项式及单项式的系数,次数的概念.第4 课时 多项式教学目标【知识与技能】1.掌握多项式及其项数、常数项的概
19、念和整式的概念.2.会判断一个式子是不是整式,会求整式的次数、系数、项和项数 .【过程与方法】通过小组讨论、合作交流,让学生经历新知的形成过程, 培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式, 这样更有利于学生把握概念的内涵和外延,有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新【情感、态度与价值观】通过整式的学习,认识整式产生的背景, 激发学生学好数学的信心.教学重难点【重点】掌握整式及多项式的有关概念,掌握多项式的定义、多项式的项和次数以及常数项等概念.【难点】多项式的次数.教学过程一、问题引入1.师:同学们 ,你们能列出下列问题中的代数式吗 ?教师板书题目.(1)长方形的长与宽分别为a
20、、b,则长方形的周长是 ; (2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人; (3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个, 脚 只. 2.师:观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别与联系.(1)2(a+b);(2)21+x;(3)a+b;2a+4b.学生分组回答,教师补充完善, 从而归纳出多项式的特点.二、讲授新课板书由学生自己归纳得出的多项式的概念.上面这些代数式是由几个单项式相加而成的.像这样, 几个单项式的和叫做多项式.在多项式中, 每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项, 叫做常数项.例如, 多项式 x2-2x+5有三项, 它们是x 2,-2x,5.其中5
21、是常数项.一个多项式含有几项,就叫做几项式.多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如, 多项式 2x2+3x-1是一个二次三项式.注意:(1)多项式的次数不是所有项的次数之和;(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.(教师介绍多项式的项、次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想)整式是单项式和多项式的统称.三、例题讲解教师出示例题.【例1】 判断:(1)多项式a 3-a2b+ab2-b3的项为 a3,a2b,ab2,b3,次数为12;(2)多项式3n 4-2n2+1的次数为4, 常数项为1.(这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项
22、和次数的概念,第(1) 题中第二、四项应为-a2b、 -b3,而往往很多同学都认为是a 2b和b 3,不把符号包括在项中.另外也有同学认为该多项式的次数为12,应注意:多项式的次数为最高次项的次数)【例2】 指出下列多项式的项和次数 ,各是几次几项式:(1)3x-1+3x2;(2)4x3+2x-2y2.(让学生口答, 老师在黑板上规范书写格式.应特别提醒学生注意多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数.)【例3】 (1) 一条河的水流速度是2.5km/h,船在静水中的速度是 vkm/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y
23、元,买一个足球需要 z元,用式子表示买3 个篮球,5个排球,2 个足球共需要的钱数;(3)如图1(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;(4)图2是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m), 用式子表示这所住宅的建筑面积 .分析 (1)船在河流中行驶时 ,船的速度需要分两种情况讨论 :顺水行驶时,船的速度 =船在静水中的速度+水流速度;逆水行驶时,船的速度 =船在静水中的速度-水流速度.解:(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h,逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h.(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.(3)三角尺的面积等于三角形的面积
24、减去圆的面积.根据图中的数据,得三角形的面积是abcm2,圆的面积是r 2cm2.因此三角尺的面积(单位:cm 2)是ab-r 2.(4)住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和, 根据图中标出的尺寸 ,可得这所住宅的建筑面积(单位 :m2)是x 2+2x+18.从上面的例子可以看出,用字母表示数, 字母和数一样可以参与运算,可用式子把数量关系简明地表示出来.学生完成,教师点评 .四、课堂练习(1)填空:-a 2b-ab+1是 次 项式, 其中三次项系数是 ,二次项为 , 常数项为 , 写出所有的项 . (2)已知代数式3x n-(m-1)x+1是关于字母x的三次二项式,求m、n的值.【答案】 (
25、1)三 三 - -ab 1-a2b、-ab、1 (2)m=1 n=3五、课堂小结1.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式 ,最高次数是几,分别由哪几项组成,各项的系数分别为多少,常数项为几.2.这堂课学习了多项式,与前一节所学单项式合起来统称为整式,使知识形成了系统.(让学生小结, 师生进行补充)第5 课时 求代数式的值教学目标【知识与技能】1.会求代数式的值,感受代数式求值可以理解成一个转换过程或某种算法.2.能解释代数式值的实际意义.3.根据代数式求值推断代数式所反映的规律.【过程与方法】学会从数学的角度提出问题、理解问题,能综合运用所学的知识和技能解决问题.【情感、态度与价值观
26、】初步认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.教学重难点【重点】会求代数式的值.【难点】利用代数式求值推断代数式所反映的规律.教学过程一、创设情境,引入新课据报载,一位医生研究得出由父母身高预测子女身高的公式:若父亲的身高为a米,母亲的身高为b 米, 则儿子成年的身高为 1.08米,女儿的身高为米 .七年级男生张小华父亲的身高为1.76米, 母亲身高为1.60米,请你预测张小华成年后的身高是多少.你能通过你父母的身高预测自己成年后的身高吗?学生计算预测.师: 本节课我们来学习求代数式的值.活动一 代数式的值问题展示:请同学们回答下列问题
27、:1.下图是一组数值转换机,请写出输出结果 .2.你能写出下图的转换步骤吗?学生举手回答.师: 我们知道,表示数的字母具有任意性和确定性, 如6x-3 中的x可取任意有理数,当给出未知数(字母 )的值时 ,如x=5,则6x-3 就是一个确定的数.一般地,用数值代替代数式里的字母, 按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.二、讲授新课1.按图(1)输入-2,0,0.26, 输出的结果分别为多少?按图(2)输入-2,0,0.26, 输出的结果又分别为多少 ?2. 根据所给的x的值,求-5x+1的值.(1)x=4; (2)x=-2.生解答:(1)当x=4时,原式=-54+1=-19;(2
28、)当x=-2时, 原式=-5(-2)+1=11.师评:当代入负值时,要用括号把负数括起来.3.一项调查研究显示:一个10 岁50岁的人, 每天所需的睡眠时间th与他的年龄n岁之间的关系为t=h,如30岁的人每天所需的睡眠时间为 t=8(h).算一算,你每天需要多少睡眠时间.学生计算回答.4.若x+2y 2+5的值为 7,求代数式 3x+6y2+4的值.活动二 巩固新知例: 堤坝的横截面是梯形,测得梯形上底a=18m,下底b=36m,高h=20m,求这个截面的面积.解: 梯形面积公式S=(a+b)h.将a=18,b=36,h=20代入上面的公式, 得S=(18+36)20=540(m2).答:
29、堤坝的横截面面积是540m 2.师评:求代数式的值的第一步是“代入” 即用数值替代代数式里的字母 ,其他的运算符号及原来的数字都不能改变.第二步是“求值”, 即按照代数式指明的运算计算出结果 .三、例题讲解【例1】 如图,某堤坝的横截面是梯形,测得梯形上底a=18m,下底b=36m,高h=20m,求这个截面的面积.【解】 梯形面积公式是S=(a+b)h.将a=18,b=36,h=20代入上面公式, 得S=(a+b)h=(18+36)20=540(m2)【例2】 当x=-3,y=2时.求下列代数式的值 :(1)x2-y2;(2)(x-y)2.【解】 (1)x 2-y2=(-3)2-22=9-4=
30、5.(2)(x-y)2=(-3-2)2=(-5)2=25.四、变式训练一辆卡车在行驶时平均每小时耗油8L,行驶前油箱中有油80L.1.用代数式表示行驶xh后, 油箱中的剩余油量Q= . 2.计算行驶2h,5h,8h 后,油箱中的剩余油量.3.这里,能求x=12h时剩余油量 Q的值吗?学生解答.师评:代数式的值是由所含字母的值确定的,是随代数式中字母的取值变化而变化的,字母取不同的值,代数式的值可能不同, 也可能相同.代数式中字母的取值不能取使代数式和它表示的实际问题失去意义的值.活动(三) 合作探究填写下表,看谁做得又对又快.n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n+6 n2 1.通过观察计算
31、结果,随着 n值逐渐变大, 两个代数式的值如何变化?2.估计一下,哪个代数式的值先超过100?学生计算,回答 .师评:求出代数式的值后,根据值的变化趋势还可以进行预测,推断代数式所反映的规律.五、随堂练习1.某市为鼓励市民节约用水,对自来水用户按如下标准收费,若每月用户用水不超过15m 3,则每立方米水价按a元收费,若超过15m 3,则超过部分每立方米按2a元收费.(1)某户居民在一个月内用水n(n15)立方米,那么他该月应缴水费多少元?(2)该户居民在10月份用水35立方米 ,11月份用水28m 3,12月份用水40m 3.他在这三个月中各缴水费多少元?2.已知m 2+n-1=3,求m 2+n-6的值.【答案】 1.15a+2a(n-15) 55a 41a 65a 2.-2六、课堂小结1.本节课学习了哪些内容?(1)“代数式的值”的定义;(2)求代数式的值.2.求代数式的值应分哪几步?应注意哪些问题?步骤:(1)代入;(2)计算.注意:(1)格式规范;(2)适当添加括号;(3)灵活运用整体代入.
