1、二 极坐标系1理解极坐标系的概念2能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别3掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做_；自极点 O 引一条射线Ox，叫做_；再选定一个 _、一个角度单位 (通常取弧度)及其_(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点 M，用 表示_，用 表示_， 叫做点 M 的 _， 叫做点 M 的_ ，有序数对_就叫做点M 的极坐标，记作 M(，)(1)极点的极坐标：极点的极径 0，极角
2、 可以是任何实数所以极点的极坐标为(0，)(R) ，也就是说极点有无数个极坐标(2)点的极坐标的多样性：平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标根据点的极坐标( ， )的定义，对于给定的点的无数个极坐标，可分为两类：一类为( ， 2k)( kZ )；另一类为( ， 2k)(kZ)【做一做 11】 关于极坐标系的下列叙述：极轴是一条射线；极点的极坐标是(0,0)；点(0,0)表示极点；点 M(4， )与点 N(4， )表示同一个点；4 54动点 M(5，)( R)的轨迹是以极点为圆心，以 5 为半径的圆其中，叙述正确的序号是_【做一做 12】 若 1 20( 10， 20) ， 1 2，则
3、点 M1(1， 1)与点M2(2， 2)的位置关系是 ( )A关于极轴所在的直线对称 B关于极点对称C关于过极点垂直于极轴的直线对称 D两点重合2极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的_与直角坐标系中的 _重合；极轴与_重合；两种坐标系取相同的_(2)互化公式直角坐标化为极坐标_极坐标化为直角坐标_(1)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘( 或除以)等技巧(2)通常情况下，由 tan 确定角 时，应根据点 P 所在象限取最小正角在这里要注意：当 x0 时，角 才能由 tan 按上述方法确定当 x0 时，tan 没有意义，这时yx又分三种情况：当
4、 x0，y0 时， 可取任何值；当 x0，y0 时，可取 ；2当 x0，y0 时，可取 .32【做一做 21】 点 P 的直角坐标为( ， )，那么它的极坐标可以是( ) 2 2A(2， ) B(2 ， ) C(2， ) D(2 ， )4 34 54 74【做一做 22】 将极坐标(2， )化为直角坐标为( )32A(0,2) B(0 ，2)C(2,0) D( 2,0)答案：1(1)极点 极轴 长度单位 正方向(2)|OM| 角 xOM 极径 极角 (，)【做一做 11】 设极点为 O，极轴就是射线 Ox，正确；极点 O 的极径0 ，极角 是任意实数，极点的极坐标应为(0 ， )，错误；给定极
5、坐标(0,0) ，可以在极坐标平面内确定惟一的一点，即极点，正确；点 M 与点 N 的极角分别是1 ， 2 ，二者的终边互为反向延长线，错误；由于动点 M(5， )(R )的极径4 545 ，极角是任意角，故点 M 的轨迹是以极点 O 为圆心，以 5 为半径的圆，正确【做一做 12】 A2(1)极点 原点 x 轴的正半轴 长度单位(2)Error! Error!【做一做 21】 B【做一做 22】 B极坐标和直角坐标的相同点和不同点剖析：极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系，它由极点 O 与极轴Ox 组成对于平面内任意一点 P，若|OP|( 0) ，以 Ox 为始边，OP 为终边
6、的角为 ，则点 P 可用有序数对( ， )表示直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成 x 轴和 y 轴，点的坐标用有序数对( x，y)来表示在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，但在极坐标系内，显然一个有序数对(，)只能与一个点对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序数对(，)对应，也就是说平面上一点的极坐标是不惟一的，极坐标系中的点与有序数对( ， )不是一一对应的题型一 由点的位置确定极坐标【例 1】 写出图中各点的极坐标，其中 0,2) 分析：欲确定点的位置，需先确定 和 的值反思：(1)写点的极坐标要注意顺序：极径
7、 在前，极角 在后，不能把顺序颠倒了(2)点的极坐标是不惟一的，但若限制 0，0 2 ，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的题型二 对称问题【例 2】 点 M 的极坐标是(2， )，它关于直线 的对称点的极坐标是( )6 2A(2， ) B( 2， )116 76C(2， ) D( 2， )6 116反思：极坐标系中的(，)关于极轴所在的直线的对称点的极坐标为 (，2k)(kZ )题型三 极坐标与直角坐标的互化【例 3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：( ， )； (6， )；(5，)24 3(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标( 0,02) ( ，3) ； (1，1)；( 3,0)3答
8、案：【例 1】 解：由点 A 在极坐标系中的位置知，它的极径为 4，极角为 0，所以它的极坐标为 A(4,0)，同理，得 B(2， )，C(3， )，D (1， )，E(4，)，F(6 ， )，4 2 56 43G(5， )，而极点 O 的坐标为(0 ，) ， 0,2)53【例 2】 B 当 0 时，我们找它的极角应在反向延长线上去找如图描点(2， )时，先找到角 的终边，又因为 20，所以再在反向延长线上找到离极6 6点 2 个单位的点即是点(2， )6直线 ，就是极角为 的那些点的集合故 M(2， )关于直线 的对称点为2 2 6 2M(2， )，但是选项没有这样的坐标又因为 M(2， )
9、的坐标还可以写成 M(2， )，6 6 76故选 B.【例 3】 解：(1)x cos 1，24y sin 1，24所以点( ， )的直角坐标为 (1,1)24x6cos( )3，3y6sin( )3 .3 3所以点( ， )的直角坐标为 (3，3 )63 3x5cos 5，y5sin 0，所以点(5，) 的直角坐标为( 5,0)(2) 2 ，tan . 32 32 333 3又因为点在第一象限，所以 .3所以点( ，3)的极坐标为(2 ， )3 33 ， 12 12 2tan 1.又因为点在第三象限，所以 .54所以点(1，1)的极坐标为( ， )254 3， 32 02极角为 ，所以点 (
10、3,0)的极坐标为(3 ，) 1 下列各点中与极坐标(5， )表示同一个点的是( ) 7A(5， ) B(5， )67157C(5， ) D(5， )2 在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系若点 P 的直角坐标与其极坐标在数值上相同，则点 P 在( ) Ax 轴上 B y 轴上C射线 Ox 上 D射线 Oy 上3 在极坐标系中，已知 A(2， )，B(6， )，则 OA，OB 的夹角为( ) 6A. B0 C. D.63564 点 M(6， )到极轴所在直线的距离为_55 已知极坐标系中，极点为 O,02 ，M(3， )，在直线 OM 上与点
11、M 的距离为4 的点的极坐标为_6(1)已知点的极坐标分别为 A(3， )，B(2， )，C ( ，)，D(4， )，求它4232们的直角坐标(2)已知点的直角坐标分别为 A(3， )，B(0， )，C( 2， )，求它们的极53坐标( 0,02)答案：1B 2.C3C 如图所示，夹角为 .343 依题意，点 M(6， )到极轴所在的直线的距离为 d6sin 3.5655(7， )或(1， ) 如图，| OM|3，xOM ，433在直线 OM 上取点 P，Q，使|OP |7，|OQ|1，显然有|PM| |OP| |OM|7 34，|QM| OM|OQ|314.点 P，Q 都满足条件，且xOP ，xOQ .436解：(1)根据 xcos ，y sin 得 A ，B (1， )，C( ，0)，2(,)32D(0， 4)(2)根据 2x 2y 2，tan 得 A( )，B ，C(4， )x23,63(,)43
